河南省南阳市邓州市第一高级中学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市邓州市第一高级中学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 数列的第5项为， 若数列满足，， 下列说法不正确的是， 下列结论中正确的是， 已知数列为等比数列，则等内容，欢迎下载使用。
1. 数列的第5项为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入计算即可得结果.
【详解】解：数列的第5项为.
故选：C
2. 某生物实验室对某种动物注射某种麻醉药物，下表是注射剂量（单位：ml）与注射4h后单位体积血液药物含量相对应的样本数据，得到变量与的线性回归方程为，则的值为（ ）
A. 12.2B. 12.5C. 12.8D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】利用样本点的中心在回归直线上，列方程即可求得的值.
【详解】由表中数据，得，而样本点的中心在回归直线上，
则，所以，解得，
故选：C.
3. 数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用累加法求出，再利用裂项相消法求解.
【详解】∵，
∴，
又，
∴
∴，
∴数列的前100项的和为：．
故选B．
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制数的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二进制的定义结合等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】由题意可知
，
故选：D
5. 若数列的前项和为，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
必要性显然成立；由，，得①，同理可得②，综合①，②，得，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】必要性显然成立；下面来证明充分性，
若，所以当时，，
所以，化简得①，
所以当时，②，
①②得，所以，即数列是等差数列，充分性得证，所以“”是“数列是等差数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
6. 如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，则可得内切圆半径是以为首项，为公比的等比数列，利用数列通项、求和公式，即可得答案.
【详解】设第n个正三角形的内切圆半径为，
因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设前n个内切圆的面积和为，
则=，
故选：B
【点睛】本题考查等比数列通项公式、求和公式的灵活应用，考查分析理解，求值计算，数形结合的能力，属中档题.
7. 若数列满足，（为正整数），为数列的前项和，则不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入递推公式求得，可知A正确；根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项，得，B正确；代入等差数列求和公式可得，C错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确.
【详解】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
当时，，
满足上式，所以，故C错误；
，
故，故D正确.
故选：C
8. 下列说法不正确的是（ ）
A. 已知数列满足，，其前项和为，若，则
B. 等差数列中，已知公差，且，则
C. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则
D. 设数列的前项和为，若，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】构造数列后由等比数列的求和公式可得A正确；由等差数列下标的性质可得B正确；由等差中项结合等差数列的求和公式可得C正确；由递推公式得到为等差数列，再利用和的关系求出等差数列的通项可得D错误.
【详解】对于A，由可得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
，解得，故A正确；
对于B，等差数列中，，
所以，故B正确；
对于C，由题意可得，
又，即，故C正确；
对于D，，
因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，
所以，故D错误.
故选：D
二.多选题（共3小题，每小题6分）
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 由样本数据得到的回归直线必过点
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱
C. 若变量与之间的相关系数，则与正相关
D. 若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为－1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线性回归方程的性质判断A；根据线性相关系数的概念和性质判断B；根据正相关、负相关的概念判断C；根据样本数据都在直线上，可得，再由负相关得.
【详解】对于A，回归直线必过点，故A正确；
对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；
对于C，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故C正确；
对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为－1，故D正确．
故选：
10. 已知数列为等比数列，则（ ）
A. 数列，，成等比数列
B. 数列，，成等比数列
C. 数列，，成等比数列
D. 数列，，成等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项.
【详解】设等比数列公比为，
A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误；
B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确．
C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误；
D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确.
故选：BD
11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 最大值是D. 最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题可得为正项递减数列.对于A，利用时，可判断选项正误；对于B，由，可得，然后由可判断选项正误；对于C，由B可得随着n增大变化情况，据此可判断选项正误；对于D，由为正项递减数列，举反例可判断选项正误.
【详解】因，且，则an=a1qn−1>0，an=a1qn−1>a1qn−1q=an+1，则为正项递减数列.
对于A，，故A正确；
对于B，因，则与，一个小于1，一个大于1，
又，则，则，故B正确；
对于C，由B分析可知， 当时，；时，.
则时，随着n增大而增大，在时，随着n增大而减小，故最大值是，故C正确；
对于D，因为正项递减数列，则随着n增大而增大，则，故最大值不为，故D错误.
故选：ABC
三.填空题（共3小题，每小题5分）
12. 某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有_____人.
附：
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设被调查的男女生为人，写出列联表，应用卡方公式求卡方值，结合求参数范围，进而确定被调查的男生为，即可答案.
【详解】由题意，设被调查的男女生为人，则男生喜欢抖音有人，女生喜欢抖音有人，
所以列联表如下：
所以，则，
所以被调查的男生为，
又，则人数是5的整数倍，
所以大于等于45的5的整数倍都符合题意，即可能有人.
故答案为：（答案不唯一）
13. 设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_____
【答案】
【解析】
【分析】由等比数列下标的性质将所给等式变形后可得.
【详解】由题意可得，
所以.
故答案为：
14. 若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列递减数列的充要条件是_____
【答案】，或，
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式写出相邻两项的不等关系，然后移项合并同列项根据整式的正负分析首项和公比的取值范围.
【详解】因为等比数列为递减数列，所以，即，，
所以，所以，所以
所以，或，，必要性得证.
又因为当，或，，易知所以数列为递减数列，
充分性得证.
所以数列递减数列的充要条件是：，或，，
故答案为：，或，
四、解答题（共5个题）
15. 已知正项等比数列满足条件.
（1）求的通项公式；
（2）设，求的最大值及取最大值时的取值.
【答案】（1）
（2）；或11
【解析】
【分析】（1）利用等比数列通项公式进行求解即可.
（2）利用二次函数的思想求的最大值．
【小问1详解】
设的公比为q，
由题意得，所以，
，
所以，．
所以．
【小问2详解】
．
二次函数的图象的对称轴为，
所以当或11时，取得最大值，且最大值为．
故的最大值为，取最大值时的取值为10或11.
16. 某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）
（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．
参考数据：．
参考公式：相关系数；
回归直线方程中，．
【答案】（1）0.98，变量和的线性相关程度很强；
（2），75.5万件．
【解析】
【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；
（2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程，令代入计算即可.
【小问1详解】
由题可知，
，
所以，
因为，所以变量和的线性相关程度很强．
【小问2详解】
，
．
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．
17. 在一次人才招聘会上，甲、乙两家公司开出的工资标准分别为：甲公司：第一年月工资1000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元；乙公司：第一年月工资1500元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作.
（1）若此人分别在甲公司或乙公司连续工作n年，则他在两公司第n年的月工资分别为多少？
（2）若此人在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）
【答案】（1）答案见解析
（2）甲公司
【解析】
【分析】（1）该人在甲公司工作第年的月工资数是等差数列，在乙公司工作第年的月工资数是等比数列，写其通项公式可求
（2）在一家公司连续工作年，比较甲、乙两公司中年月工资之和,则从该家公司得到的报酬较多.
【小问1详解】
在甲公司连续工作第年的月工资是，
在乙公司连续工作第年的月工资是；
【小问2详解】
在甲公司连续工作年，得到的工资之和：；
在乙公司连续工作年，得到的工资之和： ，
所以从甲公司得到的报酬较多.
18. 设正项数列的前n项和为，已知，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到，根据和得到，即可得到数列是公差为2的等差数列，然后求通项即可；
（2）利用裂项相消的方法求和即可.
【小问1详解】
因为，所以①，
所以时，②．
由，得，即．
因为各项均为正数，所以，即，
因为，所以，，解得，，，
所以数列是公差为2等差数列，
所以．
【小问2详解】
由（1）得．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以
19. 已知数列前项和满足：，数列满足：对任意有.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为，
（3）若，求的范围
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用数列的通项公式与前项和的关系求出数列的通项公式，然后化简已知条件求出数列的通项公式．
（2）错位相减法求和即可.
（3）计算并判断其单调性，求出的最大值，可求出的范围.
小问1详解】
解：当时，，所以，
当时，，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，；
，，
当时，
，验证首项满足，所以.
【小问2详解】
，则，
，
错位相减得：，
所以
【小问3详解】
，，
令，则，
当时，，当时，，
即当时，，
所以若，则.
【点睛】易错点点睛：知求的题型中要注意检验时是否成立，在求数列最大值时要判断数列的单调性.
2
3
4
5
6
7
5
6.6
9
10.4
15
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生
女生
总计
1
2
3
4
5
35
40
50
55
70