2024-2025学年浙江省杭州四中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州四中高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知n1=( 3,x,2)，n2=(−3, 3,−2 3)分别是平面α，β的法向量，若α/​/β，则x=( )
A. −7B. −1C. 1D. 7
2.已知直线x+my+2m−1=0和直线mx+y+1=0平行，则实数m的值为( )
A. 0B. −1C. 1D. −1或1
3.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率P=( )
A. 18B. 16C. 14D. 12
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，且a2，a3，a4−2成等差数列，则S4=( )
A. 7B. 12C. 15D. 31
5.光线通过点A(2,3)，在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,1)，则反射光线所在直线方程为( )
A. 4x−5y+1=0B. 4x+5y−9=0C. 5x−4y−1=0D. 5x+4y−9=0
6.已知原点为O，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l：x−y+1=0交于A，B两点，线段AB的中点为M，若直线OM的斜率为−14，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 32C. 5−12D. 63
7.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n=0,1,2,…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5=641∗6700417，不是质数．现设an=lg4(Fn−1)(n=1,2,…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn=63an，则n=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.已知a>0，b>0，若直线x−y−2a=0是函数y=ln(x+b−1)+1的一条切线，则1a+2b的最小值是( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作(简称实操)能力的培养.中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量(单位：克)，将所得数据分成5组：[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,10)，[103,105].根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在[99,101)内的为优等品.对于这100件产品，下列说法正确的是( )
A. 质量的平均数为99.7克(同一区间的平均数用区间中点值代替)
B. 优等品有45件
C. 质量的众数在区间[98,100)内
D. 质量的中位数在区间[99,101)内
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23>0，S240
C. 当Sn取得最大值时，n=13D. |a13|>|a12|
11.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点D，过点F的直线l(直线l的倾斜角为锐角)与抛物线C相交于A，B两点(A在x轴的上方，B在x轴的下方)，过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则( )
A. 当直线l的斜率为1时，|AB|=4p
B. 若|NF|=|FM|，则直线l的斜率为2
C. 存在直线l使得∠AOB=90°
D. 若AF=3FB，则直线l的倾斜角为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为35和34，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为______．
13.已知圆C(x−3)2+(y−4)2=1，点A(−1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为______．
14.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足an2+an=2Sn，若λ>an33n对∀n∈N∗恒成立，则λ的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1．
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点的坐标；
(2)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线l的方程．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，PC=AB=2AD=2CD=2，点E在棱PB上．
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)当BE=2EP时，求二面角P−AC−E的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ax−lnx(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在[1e,e]上的最大值g(a)．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2(|F1F2|100,bn=(12)203−n,1≤n≤500,0,n>500,{dn}={an}⊗{bn}，证明：d2000，得a0，得a>1．
可知直线l与x轴交于点A(13−2a,0)，B(0,1a−1).
所以△AOB面积S=12×13−2a×1a−1=1−4a2+10a−6=−14(a−54)2−14，其中10，解得：x