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2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|1A. {a|13}
2.已知向量a=(3,x)，b=(2x,6)，则“x=3”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列{an}的前15项之和为60，则a3+a13=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.统计学中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]中的值，简称为3σ原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位：g)，某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是( )
A. 15B. 920C. 310D. 14
6.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=2都相切，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. −1或3
7.在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC，PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC，BC于点E，F，且二面角P−EF−C的平面角为60°，则所得截面PEF的面积最小值为( )
A. 43B. 83C. 23D. 1
8.已知A，B分别是双曲线C：x24−y2=1的左右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M，N两点，△PMN，△PAB的外接圆面积分别为S1，S2，则S1S2的最小值为( )
A. 316B. 34C. 34D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为sx2，数据y1，y2，…，yn的平均数为y−，方差为sy2，其中xi，yi满足关系式yi=axi+b(i=1,2,…,n)，则( )
A. y−=ax−+b
B. 若数据sx2=0，则x1=x2=…=xn
C. 数据x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn的平均数为(a+1)x−+b
D. 若a>0，数据x1，x2，…，xn不全相等，则这组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)的相关系数为1
10.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且对∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，则下列说法中正确的是( )
A. ω=2
B. φ=π6
C. 函数y=f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}
D. 函数y=f(x)与函数g(x)=cs(2x−π3)的图象关于直线x=π2对称
11.已知函数f(x)，g(x)在R上可导，若f(4−x)+g(x−2)=2，且f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，则下列结论正确的是( )
A. f′(2026)=0B. g(2025)=0
C. f(x)是R上的偶函数D. g′(x)是R上的偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z0满足i3z0=−2+i1−2i，则z0的虚部为______．
13.已知(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则|a1|+|a2|+…+|a5|= ______．
14.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(A点位于B点右方).若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|= ______；直线l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．
附表及公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．
(Ⅰ)求证：C1M⊥B1D；
(Ⅱ)求二面角B−B1E−D的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(a−lnxx)(a>0)．
(1)讨论f(x)的最值；
(2)若a=1，且f(x)≤kex−xx，求k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 63．
(1)求C的方程；
(2)直线l：y=kx+m(k>0,m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM=λBM,AN=μBN．
(ⅰ)当μ=1λ=2时，求k的值；
(ⅱ)当λ+μ=3时，求点(0,− 3)到l的距离的最大值．
19.(本小题17分)
对于数列{an}，把a1作为新数列{bn}的第一项，把ai或−ai(i=2,3,4,…,n)作为新数列{bn}的第i项，数列{bn}称为数列{an}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，−2，−3，4，5.已知数列{bn}为数列{12n}(n∈N∗)的生成数列，Sn为数列{bn}的前n项和．
(Ⅰ)写出S3的所有可能值；
(Ⅱ)若生成数列{bn}满足S3n=17(1−18n)，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)证明：对于给定的n∈N∗，Sn的所有可能值组成的集合为{x|x=2k−12n,k∈N∗,k≤2n−1}.
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.A
6.D
7.B
8.A
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.−45
13.242
14.4 ± 32
15.解：(1)由题可得如下列联表：
(2)零假设H0：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果，根据列联表中的数据，
则χ2=200×(50×35−40×75)2125×75×90×110≈3.367>2.706=x0.1，
所以依据α=0.1的独立性检验，我们可以推断H0不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过0.1；
结论解释：未服用药物中未患病和患病的频率分别为59和49，服用药物中未患病和患病的频率分别为1522和722，根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大；
(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，
服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X=0)=C64C104=15210，P(X=1)=C63C41C104=80210，P(X=2)=C62C42C14=90210，
P(X=3)=C61C43C104=24210，P(X=4)=C44C104=1210，
所以X的分布列如下：
则E(X)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．
16.解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，如图所示：
AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，
则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，
∴C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，
∴C1M⋅B1D=2−2+0=0，
∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴CC1⊥AC，
又CC1∩BC=C，CC1⊂平面BB1E，BC⊂平面BB1E，
∴AC⊥平面BB1E，
∴平面BB1E的一个法向量CA=(2,0,0)，
设平面B1ED的一个法向量n=(x,y,z)，ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，
∴n⋅ED=2x−z=0n⋅EB1=2y+z=0，取z=2，则x=1，y=−1，
∴平面B1ED的一个法向量n=(1,−1,2)，
∴cs=CA⋅n|CA|⋅|n|=22× 6= 66，
∴二面角B−B1E−D的正弦值为 1−cs= 1−( 66)2= 306．
17.解：(1)因为f(x)=x(a−lnxx)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=a−1x=ax−1x，
当a>0时，令f′(x)=0，可得x=1a，
当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故当x=1a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为f(1a)=1+lna，无最大值；
(2)当a=1时，由f(x)≤kex−xx，可得x−lnx≤kex−xx，
整理得kex≥x2+x−xlnx，即k≥x2+x−xlnxex，
令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，
则ℎ′(x)=(2x+1−lnx−1)ex−(x2+x−xlnx)ex(ex)2=(x−lnx)(1−x)ex，
由(1)知，当a=1时，f(x)=x−lnx的最小值为f(1)=1>0，即x−lnx>0恒成立，
所以当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减．
故当x=1时，ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=2e，
即k≥2e，
故k的取值范围为[2e,+∞)．
18.解：(1)因为椭圆C的短轴长为2，离心率为 63，
所以2b=2ca= a2−b2a2= 63，
解得a= 3，b=1，
则C的方程为x23+y2=1；
(2)(ⅰ)易知A(0,m),B(−mk,0)，
因为AM=12BM，
所以OM=2OA−OB，
则M(mk,2m)，
因为AN=2BN，
所以ON=2OB−OA，
则N(−2mk,−m)，
因为M，N两点均在椭圆上，
所以m23k2+4m2=1，4m23k2+m2=1，
解得k2=13，
又k>0，
所以k= 33；
(ⅱ)联立y=kx+mx23+y2=1，消去y并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，
此时Δ=36k2m2−12(3k2+1)(m2−1)=12(3k2−m2+1)>0，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=−6km3k2+1,x1x2=3m2−33k2+1，
因为AM=λBM,AN=μBN,A(0,m),B(−mk,0)，
所以x1=λ(x1+mk),x2=μ(x2+mk)，
此时λ+μ=x1x1+mk+x2x2+mk=2−mk(1x1+mk+1x2+mk)，
因为λ+μ=3，
所以k2x1x2+2mk(x1+x2)+3m2=0，
即3m2k2−3k23k2+1+−12m2k23k2+1+3m2=0，
整理得3m2k2−3k2−12m2k2+9m2k2+3m2=0，
解得k2=m2，
因为k>0，m>0，
所以k=m，
则直线l的方程为y=k(x+1)，
此时直线l过定点(−1,0)，
所以点(0,− 3)到l的最大距离为点(0,− 3)与点(−1,0)的距离d= 1+( 3)2=2，
即点(0,− 3)到l的距离的最大值为2．
19.解：(Ⅰ)由已知，b1=12，|bn|=12n(n∈N∗,n≥2)，
∴b2=±14 , b3=±18，
由于12+14+18=78,12+14−18=58 , 12−14+18=38 , 12−14−18=18，
∴S3可能值为18 , 38 , 58 , 78.…(3分)
(Ⅱ)∵S3n=17(1−18n)，
当n=1时，a1+a2+a3=S3=17(1−18)=18，
当n≥2时，a3n−2+a3n−1+a3n=S3n−S3n−3=17(1−18n)−17(1−18n−1)=18n，
∴a3n−2+a3n−1+a3n=18n，n∈N∗，…(5分)
∵{bn}是{12n}(n∈N∗)的生成数列，
∴b3n−2=±123n−2；b3n−1=±123n−1；b3n=±123n；
∴b3n−2+b3n−1+b3n=±123n−2±123n−1±123n=18n(±4±2±1)=18n(n∈N∗)，
在以上各种组合中，
当且仅当b3n−2=48n , b3n−1=−28n , b3n=−18n(n∈N∗)时，才成立．
∴bn=12n , n=3k−2 , −12n , n≠3k−2 . (k∈N∗).…(8分)
(Ⅲ)证明：Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形．12−122−123−…−12n≤Sn≤12+122+123+…+12n，即12n≤Sn≤2n−12n，
又Sn=2n−1±2n−2±2n−3±…±12n，分子必是奇数，
满足条件12n≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个．…(10分)
设数列{an}与数列{bn}为两个生成数列，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．
由于|ak|=|bk|=12k，不妨设ak>0，bk<0，
则Sn−Tn=(ak+ak+1+…+an)−(bk+bk+1+…+bn)≤2×12k−2×(12k+1+12k+2+…+12n)=2×12k−2×(12k−12n)=12n−1>0，
所以，只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn=Tn.…(12分)
∴Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形，其值各不相同．
∴Sn可能值必恰为12n , 32n , 52n , … , 2n−12n，共2n−1个．
即Sn所有可能值集合为{x|x=2k−12n , k∈N∗ , k≤2n−1}.…(13分)
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
服用
合计
75
200
α
0.15
0.10
0.05
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
90
服用
75
35
110
合计
125
75
200
X
0
1
2
3
4
P
15210
80210
90210
24210
1210
1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|1
2.已知向量a=(3,x)，b=(2x,6)，则“x=3”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列{an}的前15项之和为60，则a3+a13=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.统计学中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]中的值，简称为3σ原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位：g)，某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是( )
A. 15B. 920C. 310D. 14
6.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=2都相切，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. −1或3
7.在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC，PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC，BC于点E，F，且二面角P−EF−C的平面角为60°，则所得截面PEF的面积最小值为( )
A. 43B. 83C. 23D. 1
8.已知A，B分别是双曲线C：x24−y2=1的左右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M，N两点，△PMN，△PAB的外接圆面积分别为S1，S2，则S1S2的最小值为( )
A. 316B. 34C. 34D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为sx2，数据y1，y2，…，yn的平均数为y−，方差为sy2，其中xi，yi满足关系式yi=axi+b(i=1,2,…,n)，则( )
A. y−=ax−+b
B. 若数据sx2=0，则x1=x2=…=xn
C. 数据x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn的平均数为(a+1)x−+b
D. 若a>0，数据x1，x2，…，xn不全相等，则这组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)的相关系数为1
10.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且对∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，则下列说法中正确的是( )
A. ω=2
B. φ=π6
C. 函数y=f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}
D. 函数y=f(x)与函数g(x)=cs(2x−π3)的图象关于直线x=π2对称
11.已知函数f(x)，g(x)在R上可导，若f(4−x)+g(x−2)=2，且f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，则下列结论正确的是( )
A. f′(2026)=0B. g(2025)=0
C. f(x)是R上的偶函数D. g′(x)是R上的偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z0满足i3z0=−2+i1−2i，则z0的虚部为______．
13.已知(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则|a1|+|a2|+…+|a5|= ______．
14.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(A点位于B点右方).若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|= ______；直线l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．
附表及公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．
(Ⅰ)求证：C1M⊥B1D；
(Ⅱ)求二面角B−B1E−D的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(a−lnxx)(a>0)．
(1)讨论f(x)的最值；
(2)若a=1，且f(x)≤kex−xx，求k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 63．
(1)求C的方程；
(2)直线l：y=kx+m(k>0,m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM=λBM,AN=μBN．
(ⅰ)当μ=1λ=2时，求k的值；
(ⅱ)当λ+μ=3时，求点(0,− 3)到l的距离的最大值．
19.(本小题17分)
对于数列{an}，把a1作为新数列{bn}的第一项，把ai或−ai(i=2,3,4,…,n)作为新数列{bn}的第i项，数列{bn}称为数列{an}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，−2，−3，4，5.已知数列{bn}为数列{12n}(n∈N∗)的生成数列，Sn为数列{bn}的前n项和．
(Ⅰ)写出S3的所有可能值；
(Ⅱ)若生成数列{bn}满足S3n=17(1−18n)，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)证明：对于给定的n∈N∗，Sn的所有可能值组成的集合为{x|x=2k−12n,k∈N∗,k≤2n−1}.
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.A
6.D
7.B
8.A
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.−45
13.242
14.4 ± 32
15.解：(1)由题可得如下列联表：
(2)零假设H0：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果，根据列联表中的数据，
则χ2=200×(50×35−40×75)2125×75×90×110≈3.367>2.706=x0.1，
所以依据α=0.1的独立性检验，我们可以推断H0不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过0.1；
结论解释：未服用药物中未患病和患病的频率分别为59和49，服用药物中未患病和患病的频率分别为1522和722，根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大；
(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，
服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X=0)=C64C104=15210，P(X=1)=C63C41C104=80210，P(X=2)=C62C42C14=90210，
P(X=3)=C61C43C104=24210，P(X=4)=C44C104=1210，
所以X的分布列如下：
则E(X)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．
16.解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，如图所示：
AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，
则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，
∴C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，
∴C1M⋅B1D=2−2+0=0，
∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴CC1⊥AC，
又CC1∩BC=C，CC1⊂平面BB1E，BC⊂平面BB1E，
∴AC⊥平面BB1E，
∴平面BB1E的一个法向量CA=(2,0,0)，
设平面B1ED的一个法向量n=(x,y,z)，ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，
∴n⋅ED=2x−z=0n⋅EB1=2y+z=0，取z=2，则x=1，y=−1，
∴平面B1ED的一个法向量n=(1,−1,2)，
∴cs
∴二面角B−B1E−D的正弦值为 1−cs
17.解：(1)因为f(x)=x(a−lnxx)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=a−1x=ax−1x，
当a>0时，令f′(x)=0，可得x=1a，
当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故当x=1a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为f(1a)=1+lna，无最大值；
(2)当a=1时，由f(x)≤kex−xx，可得x−lnx≤kex−xx，
整理得kex≥x2+x−xlnx，即k≥x2+x−xlnxex，
令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，
则ℎ′(x)=(2x+1−lnx−1)ex−(x2+x−xlnx)ex(ex)2=(x−lnx)(1−x)ex，
由(1)知，当a=1时，f(x)=x−lnx的最小值为f(1)=1>0，即x−lnx>0恒成立，
所以当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减．
故当x=1时，ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=2e，
即k≥2e，
故k的取值范围为[2e,+∞)．
18.解：(1)因为椭圆C的短轴长为2，离心率为 63，
所以2b=2ca= a2−b2a2= 63，
解得a= 3，b=1，
则C的方程为x23+y2=1；
(2)(ⅰ)易知A(0,m),B(−mk,0)，
因为AM=12BM，
所以OM=2OA−OB，
则M(mk,2m)，
因为AN=2BN，
所以ON=2OB−OA，
则N(−2mk,−m)，
因为M，N两点均在椭圆上，
所以m23k2+4m2=1，4m23k2+m2=1，
解得k2=13，
又k>0，
所以k= 33；
(ⅱ)联立y=kx+mx23+y2=1，消去y并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，
此时Δ=36k2m2−12(3k2+1)(m2−1)=12(3k2−m2+1)>0，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=−6km3k2+1,x1x2=3m2−33k2+1，
因为AM=λBM,AN=μBN,A(0,m),B(−mk,0)，
所以x1=λ(x1+mk),x2=μ(x2+mk)，
此时λ+μ=x1x1+mk+x2x2+mk=2−mk(1x1+mk+1x2+mk)，
因为λ+μ=3，
所以k2x1x2+2mk(x1+x2)+3m2=0，
即3m2k2−3k23k2+1+−12m2k23k2+1+3m2=0，
整理得3m2k2−3k2−12m2k2+9m2k2+3m2=0，
解得k2=m2，
因为k>0，m>0，
所以k=m，
则直线l的方程为y=k(x+1)，
此时直线l过定点(−1,0)，
所以点(0,− 3)到l的最大距离为点(0,− 3)与点(−1,0)的距离d= 1+( 3)2=2，
即点(0,− 3)到l的距离的最大值为2．
19.解：(Ⅰ)由已知，b1=12，|bn|=12n(n∈N∗,n≥2)，
∴b2=±14 , b3=±18，
由于12+14+18=78,12+14−18=58 , 12−14+18=38 , 12−14−18=18，
∴S3可能值为18 , 38 , 58 , 78.…(3分)
(Ⅱ)∵S3n=17(1−18n)，
当n=1时，a1+a2+a3=S3=17(1−18)=18，
当n≥2时，a3n−2+a3n−1+a3n=S3n−S3n−3=17(1−18n)−17(1−18n−1)=18n，
∴a3n−2+a3n−1+a3n=18n，n∈N∗，…(5分)
∵{bn}是{12n}(n∈N∗)的生成数列，
∴b3n−2=±123n−2；b3n−1=±123n−1；b3n=±123n；
∴b3n−2+b3n−1+b3n=±123n−2±123n−1±123n=18n(±4±2±1)=18n(n∈N∗)，
在以上各种组合中，
当且仅当b3n−2=48n , b3n−1=−28n , b3n=−18n(n∈N∗)时，才成立．
∴bn=12n , n=3k−2 , −12n , n≠3k−2 . (k∈N∗).…(8分)
(Ⅲ)证明：Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形．12−122−123−…−12n≤Sn≤12+122+123+…+12n，即12n≤Sn≤2n−12n，
又Sn=2n−1±2n−2±2n−3±…±12n，分子必是奇数，
满足条件12n≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个．…(10分)
设数列{an}与数列{bn}为两个生成数列，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．
由于|ak|=|bk|=12k，不妨设ak>0，bk<0，
则Sn−Tn=(ak+ak+1+…+an)−(bk+bk+1+…+bn)≤2×12k−2×(12k+1+12k+2+…+12n)=2×12k−2×(12k−12n)=12n−1>0，
所以，只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn=Tn.…(12分)
∴Sn=12±122±123±…±12n共有2n−1种情形，其值各不相同．
∴Sn可能值必恰为12n , 32n , 52n , … , 2n−12n，共2n−1个．
即Sn所有可能值集合为{x|x=2k−12n , k∈N∗ , k≤2n−1}.…(13分)
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
服用
合计
75
200
α
0.15
0.10
0.05
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
90
服用
75
35
110
合计
125
75
200
X
0
1
2
3
4
P
15210
80210
90210
24210
1210
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