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    2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
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    2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知集合A={1,3,5},B={1,5},则( )
    A. A=BB. A⊆BC. B⊆AD. 以上都不正确
    2.某校为了了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
    A. 抽签法B. 随机数法
    C. 分层随机抽样法D. 除以上方法外的其他方法
    3.“x>0”是“ x2=x”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    4.若函数f(x)=ln(x2−ax)在区间(2,5)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
    A. (−∞,5]B. (−∞,2)C. (−∞,2]D. [5,+∞)
    5.若a=1.10.1,b=lg0.20.3,c=lg213,则( )
    A. c6.若正数x,y满足 x+2 y=2 3,则xy的最大值为( )
    A. 6B. 9C. 94D. 32
    7.某公司50名员工乘坐公交车、骑电动车两种方式上班所需时间统计如下:
    则这50名员工通勤时间的方差为( )
    A. 48B. 46C. 28D. 24
    8.若函数f(x)=x(|x2−a|−a)lg(2|x|+1+a)的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
    A. (−1,0)B. (0,+∞)
    C. (−2,0)D. (−2,−1)∪(−1,+∞)
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时,若第一次所取区间为[−2,4],则第二次所取区间可能是( )
    A. [−2,−1]B. [−2,1]C. [2,4]D. [1,4]
    10.下列说法错误的是( )
    A. 函数y=xx与函数y=1表示同一个函数
    B. 若f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x+5,则f(x)=4x−1
    C. 函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
    D. 函数y=1x+1在(−∞,−1)∪(−1,+∞)上是单调递减函数
    11.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球,则下列结论正确的是( )
    A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
    B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
    C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
    D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
    12.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(3−x),且f(x)在[0,2]上单调递减,f(2)=−2,则( )
    A. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称
    B. f(x)=f(x+8)
    C. f(2024)+f(2022)=−2
    D. 设g(x)=e−|x+2|(−6≤x≤2),f(x)和g(x)图象的所有交点的横坐标之和为−4
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知幂函数y=(m2−m+1)xm+1的图象关于y轴对称,则m=______.
    14.若命题:“∃x∈R,4x2−2x+m=0”为假命题,则实数m的取值范围为______.
    15.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4,若它们的和为12,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的第75百分位数为______.
    16.孪生素数是指相差2的素数对,例如5和7,“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,则这两个数为孪生素数的概率为______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    (1)已知x+x−1=3,求x12+x−12x2+x−2的值;
    (2)计算:( 2×33)6−lg25−lg4−7lg72− (π−3)2.
    18.(本小题12分)
    已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|13(1)求a,c的值;
    (2)解不关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
    19.(本小题12分)
    已知定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=3x−a(a∈R),且f(−3)=26.
    (1)求a的值;
    (2)求函数f(x)的解析式;
    (3)解不等式:f(x)>2.
    20.(本小题12分)
    2023年高考查分系统上线后,某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩,从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计(成绩均在[60,140]分),按照[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]的分组作出频率分布直方图如图所示.
    (1)求频率分布直方图中的x的值,并估计该中学今年高考数学成绩的中位数;
    (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言,求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率.
    21.(本小题12分)
    已知f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2是偶函数.
    (1)求a的值;
    (2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    22.(本小题12分)
    冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段,使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下,以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加,冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模,决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元,经预测,每年初投资的x百万元在第m(1≤m≤8,且m∈N′)年产生的利润(单位:百万元)G(m)= mx,m∈N*,1≤m≤4,4− 16−mx2,m∈N*,5≤m≤8,记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为fn(x).
    (1)比较f4(2)与f5(2)的大小;
    (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:集合A={1,3,5},B={1,5},A≠B,选项A错误;
    B⊆A,则B错误,C正确.
    故选:C.
    根据集合的包含关系判断即可.
    本题考查集合间的关系,属于基础题.
    2.【答案】C
    【解析】解:由题意可知,该抽样方法分层特征明显,符合分层抽样的定义,
    则最合理的抽样方法是分层随机抽样法.
    故选:C.
    根据已知条件,结合分层抽样的定义,即可求解.
    本题主要考查分层抽样方法,属于基础题.
    3.【答案】A
    【解析】解:由′′x>0′′,可以得到“ x2=x”,由“ x2=x”得到“x≥0”.
    故“x>0”是“ x2=x”的充分不必要条件,
    故选:A.
    直接利用充要条件的判定方法判断即可.
    本题考查充要条件的判断,考查逻辑推理能力,属基础题.
    4.【答案】C
    【解析】解:因为函数f(x)=ln(x2−ax)在区间(2,5)上单调递增,
    即y=x2−ax在(2,5)上为增函数且函数值大于0,
    由函数y=(x−a2)2−a24,则a2≤24−2a≥0,故a≤2,
    则a的取值范围是(−∞,2].
    故选:C.
    根据复合函数的单调性,结合二次函数的单调性,建立不等式,可得答案.
    本题考查了复合函数的单调性的判断,单调区间的应用,属于中档题.
    5.【答案】B
    【解析】解:∵1.10.1>1.10=1,∴a>1,
    ∵0=lg0.21∵lg213∴c故选:B.
    利用指数函数和对数函数的单调性求解.
    本题主要考查了指数函数和对数函数的性质,属于基础题.
    6.【答案】C
    【解析】解:因为 x+2 y=2 3≥2 2 xy,
    所以8 xy≤12,解得xy≤94,当且仅当x=3,y=34时取等号.
    故选:C.
    由基本不等式求解即可.
    本题主要考查了基本不等式求解最值,属于基础题.
    7.【答案】A
    【解析】解:根据题意,50名员工通勤时间的平均数x−=20×30+30×2050=24,
    则其方差S2=2050×[36+(30−24)2]+3050×[16+(20−24)2]=48.
    故选:A.
    根据题意,由总体的平均数、方差公式计算可得答案.
    本题考查总体的方差计算,注意方差的计算公式,属于基础题.
    8.【答案】A
    【解析】解:因为f(x)=x(|x2−a|−a)lg(2|x|+1+a)的定义域为R,
    则对任意x∈R,|x2−a|−a≠0,同时2|x|+1+a恒大于0且恒不为1,
    对于|x2−a|−a,若a≥0,则x=0时|x2−a|−a=0,不满足题意;
    若a<0,则|x2−a|−a>0恒成立,
    因为2|x|+1+a≥2+a,要满足2|x|+1+a恒大于0且恒不为1,则2+a>1,a>−1,
    所以a的取值范围是(−1,0).
    故选:A.
    将问题转化为对任意x∈R,|x2−a|−a≠0,同时2|x|+1+a恒大于0且恒不为1,分情况讨论求实数a的取值范围即可.
    本题主要考查函数定义域的求解,考查计算能力和转化思想的应用,属于中档题.
    9.【答案】BD
    【解析】解:根据题意,用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,若第一次所取区间为[−2,4],
    则有f(−2)f(4)<0,
    由于(−2)+42=1,即判断f(−2)f(1)或f(1)f(4)的符号,
    所以第二次所取区间可能是[−2,1]或[1,4].
    故选:BD.
    根据题意,求出区间的中点,由“二分法”求函数零点的步骤,分析第二次所取区间即可.
    本题考查二分法的步骤,涉及函数零点判定定理,属于基础题.
    10.【答案】ABD
    【解析】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A:函数y=xx的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),函数y=1的定义域为R,
    所以这两个函数不表示同一个函数,故A错误;
    对于B:设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,
    又f(f(x))=16x+5,所以k2=16kb+b=5,解得k=4b=1或k=−4b=−53,
    所以f(x)=4x+1或f(x)=−4x−53,故B错误;
    对于C:由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,故C正确;
    对于D:函数y=1x+1在(−∞,−1),(−1,+∞)上是单调递减函数,故D错误.
    故选:ABD.
    根据题意,根据相等函数的概念判断A;利用待定系数法求出函数f(x)的解析式,即可判断B;根据函数的定义即可判断C;根据单调区间的定义即可判断D,综合可得答案.
    本题考查命题真假的判断,涉及函数的定义、函数的单调性以及函数解析式的计算,属于基础题.
    11.【答案】BD
    【解析】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A,“至少有一个红球”包含“两个红球”和“一红一黑”两种情况,“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况,两者不是互斥事件,A错误;
    对于B,“恰有一个黑球”即“一红一黑”,和“都是黑球”不会同时发生,是互斥事件,B正确;
    对于C,“恰有一个红球”即“一红一黑”,和“都是红球”不会同时发生,是互斥事件,但不是对立事件,C错误;
    对于D,“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况,和“都是红球”是对立事件,D正确;
    故选:BD.
    根据题意,由互斥事件和对立事件的定义,依次分析选项,综合可得答案.
    本题考查互斥事件和对立事件的定义,注意两者的区别,属于基础题.
    12.【答案】ABD
    【解析】解:因为定义在R上的函数f(x),满足f(1+x)=f(3−x),
    所以x=1+x+3−x2=2,
    所以函数f(x)图象关于直线x=2对称,故A正确;
    因为定义在R上的奇函数f(x),满足f(1+x)=f(3−x),
    所以f(1+x)=f(3−x)=−f(x−3),即f(x+4)=−f(x),于是有f(x+8)=−f(x+4)=f(x),
    所以函数f(x)的周期为8,故B正确;
    f(2024)+f(2022)=f(253×8)+f(253×8−2)=f(0)+f(−2)=0−f(2)=2,故C错误;
    因为定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,f(2)=−2,
    所以f(x)在[−2,2]上单调递减,f(−2)=2,
    则函数f(x)图象关于直线x=−2对称,函数g(x)=e−|x+2|(−6作出函数f(x)和g(x)的图象,如图所示:
    由图可知,函数f(x)和g(x)的图象共有2交点,则函数f(x)和g(x)的图象的交点关于x=−2对称,所以x1+x22=−2,即x1+x2=−4,
    所以f(x)和g(x)的图象所有交点横坐标之和为−4,故D正确.
    故选:ABD.
    根据已知条件及奇函数的定义,利用函数的对称性及周期性,作出函数的图象,再利用数形结合即可求解.
    本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性,属于中档题.
    13.【答案】1
    【解析】解:由于函数是幂函数,所以m2−m+1=1,解得m=0或m=1.
    当m=0时,y=x,是奇函数;
    当m=1时,y=x2,是偶函数,符合题意,
    所以m的值为1.
    故答案为:1.
    根据幂函数的定义和奇偶性即可求解.
    本题考查幂函数的定义和奇偶性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    14.【答案】(14,+∞)
    【解析】解:由题意可知方程4x2−2x+m=0无实数解,
    所以Δ=(−2)2−4×4m<0,解得m>14,
    故实数m的取值范围为(14,+∞).
    故答案为:(14,+∞).
    根据题中条件可得方程4x2−2x+m=0无实数解,则Δ<0,解出即可.
    本题主要考查存在量词和特称命题,属于基础题.
    15.【答案】92
    【解析】解:互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4,
    则这4个数据的极差为:a4−a1,中位数为a2+a32,
    这4个数据的极差是中位数的2倍,
    则a4−a1=2×a2+a32=a2+a3,即a4=a1+a2+a3,
    a1,a2,a3,a4的和为12,
    则a1+a2+a3+a4=12,
    故a4=6,
    a1,a2,a3从小到大且为互不相等的正实数,
    则a1=1,a2=2,a3=3,
    4×0.75=3,
    则这4个数据的第75百分位数为3+62=92.
    故答案为:92.
    根据已知条件,结合极差、中位数的定义,求出a1,a2,a3,a4的值,再结合第75百分位数的定义,即可求解.
    本题主要考查统计的知识,属于基础题.
    16.【答案】17
    【解析】解:由题意分析知:
    不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,
    从中任取两个,基本事件总数n=C82=28,
    取出的两个数是孪生素数包含的基本事件有:
    {3,5},{5,7},{11,13},{17,19},共4个,
    ∴这两个数为孪生素数的概率为P=mn=428=17.
    故答案为:17.
    由题意列举出所有素数及孪生素数,结合古典概型求随机选取两个不同的数为孪生素数的概率即可.
    本题考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    17.【答案】解:(1)因为x+x−1=3,可得x>0,
    则(x12+x−12)2=x+x−1+2=3+2=5,可得x12+x−12= 5,
    又由x2+x−2=(x+x−1)2−2=32−2=7,
    所以x12+x−12x2+x−2= 57.
    (2)( 2×33)6−lg25−lg4−7lg72− (π−3)2
    =( 2)6⋅(33)6−(lg25+lg4)−2−(π−3)
    =8×9−lg100−2−(π−3)=72−2−2−π+3=71−π.
    【解析】(1)根据题意,结合(x12+x−12)2=x+x−1+2和x2+x−2=(x+x−1)2−2,代入即可求解;
    (2)根据指数幂与对数的运算公式,准确运算,即可求解.
    本题主要考查了指数幂的运算性质的应用,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为13和12,
    由根与系数的关系,得−5a=13+12ca=12×13,
    解得a=−6,c=−1;
    (2)由a=−6,c=−1知,不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为−6x2+8x−2≥0,
    即3x2−4x+1≤0,解得13≤x≤1,
    所以不等式的解集为{x|13≤x≤1}.
    【解析】(1)根据不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系即可求出a、c的值;
    (2)由a、c的值代入化简不等式,求出解集即可.
    本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题,也考查了根与系数关系的应用问题,是基础题目.
    19.【答案】解:(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(−3)=26,
    所以f(3)=f(−3)=26,即33−a=26,
    解得a=1.
    (2)当x≥0时,f(x)=3x−1,
    设x<0,则−x>0,则f(x)=f(−x)=3−x−1,
    故f(x)=3−x−1,x<03x−1,x≥0;
    (3)由f(x)是偶函数,f(x)>2等价于f(|x|)>2,即3|x|−1>2,
    得3|x|>3,得|x|>1,解得x<−1或x>1,
    故f(x)>2的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).
    【解析】(1)偶函数f(x),有f(3)=f(−3)=26,代入函数解析式求a的值;
    (2)由函数f(x)是偶函数,求函数的解析式;
    (3)由函数奇偶性和解析式解不等式.
    本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用,还考查了不等式的求解,属于中档题.
    20.【答案】解:(1)由频率分布直方图得:
    (0.006+2x+0.02+0.03+0.014+0.006+0.004)×10=1,
    解得x=0.01.
    数学成绩在[60,100)内的频率为(0.006+0.01+0.01+0.02)×10=0.46,
    数学成绩在[60,110)内的频率为(0.006+0.01+0.01+0.02+0.03)×10=0.76,
    ∴估计该中学今年高考数学成绩的中位数为:
    100+0.5−0.460.3×10=3043.
    (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生,
    则[120,130)中抽取5×+0.004=3人,[130,1400中抽取5×+0.004=2人,
    再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言,
    基本事件总数n=C52=10,
    这2名学生中恰有1名成绩不低于130分包含的基本事件个数m=C31C21=6,
    ∴这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为P=mn=610=35.
    【解析】(1)由频率分布直方图列方程,求出x;数学成绩在[60,100)内的频率为0.46,数学成绩在[60,110)内的频率为0.76,由此能估计该中学今年高考数学成绩的中位数.
    (2)用分层抽样的方法求出[120,130)中抽取3人,[130,1400中抽取2人,从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言,基本事件总数n=C52=10,这2名学生中恰有1名成绩不低于130分包含的基本事件个数m=C31C21=6,由此能求出这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率.
    本题考查频率分布直方图、中位数、分层抽样、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    21.【答案】解:(1)由题意可知函数的定义域为R,
    又因为函数y=f(x)为偶函数,
    所以f(−x)=f(x),
    即lg2(4−x+12+2)+(12x+a)2=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2,
    lg2(4−x+12+2)−lg2(4x+12+2)=(12x−a)2−(12x+a)2=−2ax,
    所以2ax=lg2(4x+12+2)−lg2(4−x+12+2)=lg22⋅4x+22⋅4−x+2=lg24x+14−x+1=lg24x=2x,
    所以a=1;
    当a=1时,因为f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−1)2=lg2(2⋅4x+2)+14x2−x+1=lg2(4x+1)+14x2−x+2,
    所以f(−x)=lg2(4−x+12+2)+(12x+1)2=lg2(2⋅4−x+2)+14x2+x+1=lg2(4−x+1)+14x2+x+2
    =lg2(4x+1)−lg24x+14x2+x+2=lg2(4x+1)+14x2−x+2=f(x),
    所以f(x)为偶函数,
    所以a=1.
    (2)证明:由(1)可知:f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−1)2=lg2(4x+12+2)+14x2−x+1
    =lg2(4x+1)+14x2−x+2=lg24x+12x+14x2+2=lg2(2x+2−x)+14x2+2,
    所以任取x1,x2∈(0,+∞),设x1则f(x1)−f(x2)=[lg2(2x1+2−x1)+14x12+2]−[lg2(2x2+2−x2)+14x22+2]
    =lg22x1+2−x12x2+2−x2+14x12−14x22,
    因为0所以lg22x1+2−x12x2+2−x2<0,14x12<14x22,
    所以f(x1)−f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    【解析】(1)根据偶函数的定义即f(−x)=f(x)即可求出参数a的值;(2)由(1)可知:f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−1)2=lg2(2x+2−x)+14x2+2,利用单调性的定义证明即可.
    本题考查函数的单调性、奇偶性,考查学生的逻辑思维能力和运算能力,属中档题.
    22.【答案】解:(1)f4(2)相当于m=4,x=2,
    即:f4(2)= 4×2= 8=2 2≈2.828,
    f5(2)相当于m=5,x=2,
    即:f5(2)=4− 16−5×22=4− 11≈0.68,
    故f4(2)>f5(2);
    (2)到2027年相当于m=4,设两次投资利润之和为y,
    则y= 4x+ 3(4−x),
    y2=4x+3(4−x)+2 4x⋅3(4−x)
    ≤4x+3(4−x)+[4x+3(4−x)]22
    =4x+3(4−x)+144+2x+x22
    =x2+4x+1682,
    x2+4x+168的对称轴为x=−2,最大值为(−2)2−4×2+168=162,
    ∴y2≤1622=81,
    ∴y≤9,
    故利润之和最大值为9百万元.
    【解析】(1)将m=4,x=2和m=5,x=2分别代入分段函数即可求解;
    (2)到2027年相当于m=4,设两次投资利润之和为y,则y= 4x+ 3(4−x),结合基本不等式和二次函数的性质即可求解.
    本题考查了函数模型的实际应用,属于中档题.通勤方式
    人数
    平均用时(分钟)
    方差
    乘坐公交车
    20
    30
    36
    骑电动车
    30
    20
    16
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