广西桂林市永福县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广西桂林市永福县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是一次函数，故该选项是错误的；
B、不是反比例函数，故该选项是错误的；
C、属于反比例函数，故该选项是正确的；
D、，是一次函数，故该选项是错误的；
故选：C.
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C.
3. 下列各点中，在反比例函数的图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，
A、，符合题意；
B、，不合题意；
C、，不合题意；
D、，不合题意.
故选：A.
4. 下列各组长度的线段（单位：）中，成比例线段的是（ ）
A. 1，2，3，4B. 1，2，3，6
C. 2，3，4，5D. 1，3，5，10
【答案】B
【解析】A、1×4≠2×3，故选项错误；
B、1×6=2×3，故选项正确；
C、2×5≠3×4，故选项错误；
D、1×10≠3×5，故选项错误.
故选：B.
5. 下列四组图形中一定相似的是（ ）
A. 正方形与矩形B. 正方形与菱形
C. 等边三角形与等边三角形D. 矩形与矩形
【答案】C
【解析】A、正方形与矩形的形状不相同，故该选项是不符合题意；
B、正方形与菱形的形状不相同，故该选项是不符合题意；
C、等边三角形与等边三角形的形状相同，对应边成比例，故该选项是符合题意；
D、矩形与矩形的形状相同，对应边不一定成比例，故该选项是不符合题意；
故选：C
6. 一元二次方程的解为（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】，
∴，，
故选：C.
7. 一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，5，6B. 5，2，6
C. 2，5，﹣6D. 5，2，﹣6
【答案】C
【解析】方程整理得：2x2+5x﹣6＝0，
则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6，
故选C.
8. 已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴.
故选：D.
9. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴反比例函数图象在二、四象限，
∵，
∴，
故选：B.
10. 如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m.
A. 3.4B. 5.1C. 6.8D. 8.5
【答案】B
【解析】由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m.
故选：B.
11. 2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注.据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该款上衣销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：该款上衣销售量的月平均增长率为.
故选：A.
12. 对于函数，规定，例如，若，则有.已知函数，那么方程的解的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根
【答案】C
【解析】根据题意：
，
由：，
故：，
即：，
，
方程有两个不相等的实数根.
故选：C.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13. 如图，反比例函数的图象经过点，则______.
【答案】
【解析】由图象可得：，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：.
14. 若，则______.
【答案】或30度
【解析】∵
∴
故答案为：
15. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______.
【答案】或12
【解析】∵两个相似多边形的相似比为，
∴它们的周长的比为，
故答案为：.
16. 若一元二次方程两根分别为，，则__________.
【答案】
【解析】根据题意得到，，
故.
故答案为：.
17. 请写出一个根为，另一个根为的一个一元二次方程：_____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】一个根为，另一个根为的一个一元二次方程为：，
即，
故答案为：（答案不唯一）.
18. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为______.
【答案】
【解析】∵点是的黄金分割点，的长为，
∴，
故答案为：.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
解：
.
20. 解方程：.
解：移项，得
，
∴，
∴，
两边开平方，得
，
∴.
21. 如图，已知，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴.
22. 如图，在的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点和的顶点均为格点.
（1）以为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，若点A的坐标为，的边上任意一点的对应点为点，直接写出点，点的坐标.
解：（1）如图、连接，并在延长线取格点，使，取格点，使，格点，使，，连接，，则即为所求.
（2）点A的坐标为，由图可知点的坐标为，
点的对应点为点，则点的坐标为.
23. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况.实验数据记录如下：
（1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
解：（1）画图如下：
由图可得，是的反比例函数，设，把代入得，
，
∴，
∴函数关系式为；
（2）把代入得，，
∴，
即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是，
∵，在第一象限内，的值随着的值的增大而减小，
∴随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大.
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，交轴于点，交轴于点，连接，.
（1）求出反例函数的表达式及点的坐标；
（2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的自变量的取值范围；
（3）求的面积.
解：（1）点在一次函数上，
，
点的坐标为，
点在反比例函数（为常数，且）上，
，
反比例函数表达式为.
联立一次函数表达式与反比例函数表达式，得：，
解得：或，
点B的坐标为；
（2）当时，
一次函数的图像在反比例函数图像上方，
自变量的取值范围为或；
（3）在中，令可求得，
∴，即，
∵点B的坐标为，
∴.
25. 综合与实践
【问题情境】直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元.当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个.通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个.
【数学思考】
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出__________个水杯，月销售利润是______元.
（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含的代数式表示）.
解：（1）由题意得：（个），
（元），
故当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出个水杯，月销售利润是元；
（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出个水杯.
26. 一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究：
课本再现：
（1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少?

类比探究
（2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由.
拓展延伸
（3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值.
解：（1）设正方形零件的边长为，则，
∵，
∴.
∴，
∴，
解得.
∴正方形零件的边长为.
（2）.理由如下：如图.
设每个正方形边长为.
∵，
∴.
∴，
∴.
∴.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴.
（3）①如图，
，
设每个正方形的边长为.
∵，
∴.
∴，
∴.
∴.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴；
②如图，设每个正方形的边长为.
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴，
.10