专题07 几何中的最值问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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一、热点题型归纳
【题型一】 将军饮马模型
【题型二】 费马点模型
【题型三】 隐圆模型
【题型四】 胡不归模型
【题型五】 阿氏圆模型
【题型六】 瓜豆模型
二、最新模考题组练
【题型一】 将军饮马模型
【典例分析】
1.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

2.如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120º，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 .

【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
2.如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．
3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝ 时，四边形APQE的周长最小．
【题型二】 费马点模型
【典例分析】
1.如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
2.如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
【题型三】 隐圆模型
【典例分析】
1.如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．
2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
3.如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为____．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
4.如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．
【题型四】 胡不归模型
【典例分析】
1.如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
2.如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
【题型五】 阿氏圆模型
【典例分析】
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
2.如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
2.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
3.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 ．
【题型六】 瓜豆模型
【典例分析】
1.如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
2.如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
2.如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ．
3.如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
1．已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，，，则边的最大值为（ ）
A．B．C．8D．
3．如图，在中，于D，于E，连接．若，则点C到的距离的最大值是（ ）
A．3B．6C．D．
4．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
6．如图，已知矩形，对角线与相交于点，，，是边上一动点，当取最小值时，的长为( )
A．B．C．2D．
7．四边形是边长为的正方形，点在边上，连接，为中点，连接，点在上且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
9．已知，中，，，，以为边作，使得，连接，则线段长的最大值为______．
10．如图，在中，，，，线段绕点旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值是________．
11．如图，在矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折得，点落在四边形内，点是线段上的动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为 ___________．
12．如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点P是对角线上的一个动点，已知，则的最小值是_________________
14．如图，是等边三角形，，若的半径为2，圆心O在线段上运动，则点A到上的点的距离最小值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，C、D是y轴上的两个动点，且，连接AD、BC，则的最小值为______．
16．如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是___．
17．如图，等边的边长为4，的半径为2，P为上动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________________．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，C为平面内的动点，且满足，D为直线上的动点，则线段长的最小值为____________．
两定一动模型
一定两动模型
（同侧）
（异侧）
两线段相减的最大值模型（三点共线）
将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。
定点定长
定弦定角
四点共圆
最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径；
最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径。
求BC+kAC的最小值问题，构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
④则，当A、P、C三点共线时可得最小值。
运动轨迹为直线

模型总结：
条件：主动点、从动点到定点的距离之比是定量；主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
运动轨迹为圆
条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．