湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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审题教师：范瑞云 命题学校：丹江口市第一中学 命题教师：嘉平
考试时间：2025 年 3 月 18 日下午 15：00—17：00 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】根据等差数列的性质，可得 ，
则 ，即 .
故选：C.
2. 设 ， 为实数，若直线 与圆 相切，则点 与圆的位置关系是（ ）
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出 ，确定点与圆的位置关系.
【详解】由圆 ，圆心为 ，半径为 2，
因为直线 与圆 相切，
故 ，故 ，所以点 在圆 内.
故选：C
3. 在等比数列 中， 是方程 两根，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
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【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列性质可得 ,再由根与系数的关系计算可得结果.
【详解】由 是方程 两根可得 ，
由等比数列性质可得 ，解得 或 （舍）；
所以 .
故选：D
4. 已知 是函数 的导函数，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，即可代入求解.
【详解】由 可得 ，
故 ，解得 ，
故选：A
5. 已知等差数列 的首项为 1，且 成等比数列，则数列 的前 项和为（
）
A. B. C. 505 D. 1013
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.
【详解】设公差为 ，因为 成等比数列，
所以 ，则 ，
解得 或 ，当 时， ，
此时与 成等比数列矛盾，故排除，
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当 时， ，此时令 ，
而其前 项和为 ，
，故 A 正确.
故选：A
6. 已知椭圆 ： ，直线 ： ，若点 为 上的一点，则点 到直线 的距离的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的方程，采用三角代换，利用点到直线的距离公式表示出点 到直线 ： 的
距离，结合辅助角公式即可求得答案.
【详解】由 ，可得其参数方程为 （ 为参数），
可设 ，点 到直线 ： 的距离为 ，
则有 ，其中 ，
，
故当 时， ， 取得最小值，
此时 ， ，
即当 的坐标为 时， 有最小值为 .
故选：B.
7. 已知函数 ，若 至少有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数零点的意义，把问题转化为直线 与函数 的图象至少有 3 个交点，作出图象，
利用导数求出相切的情况，然后数形结合求得.
【详解】由 ，得 ，函数 至少有 3 个不同的零点，
等价于直线 与函数 的图象至少有 3 个交点，
直线 过原点，在同一坐标系内作出函数 的图象与直线 ，
当直线 与曲线 相切时，直线 与函数 的图象有 3 个交点，
由 ，求导得 ，设切点坐标为 ，则切线 方程为 ，
而切线过原点，则 ，解得 ，此时切线 的斜率 ，
当 时，直线 与函数 的图象有 2 个交点，不符合题意；
当 时，直线 与函数 的图象最多有 2 个交点，不符合题意；
当 时，直线 与函数 的图象有 4 个交点，符合题意，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
8. 如图是瑞典数学家科赫在 1904年构造的能够描述雪花形状的图案. 图形的作法是: 从一个正三角形开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边. 反复进行这一过程，
就得到一条“雪花”状的曲线. 设原三角形 (图①)的边长为 1，记第 个图形的周长为 ，数列 的前
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项和为 ，则使得 成立的 的最小值为（ ） （参考数据: ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，计算 ，利用 即可得到
结果.
【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的 4 倍，边长是前一个图形的
，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的 ，
∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
由 得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴使得 成立的 的最小值为 8.
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下
降的距离 （单位：m）与时间 （单位：s）之间满足函数关系 ，则（ ）
A. 在 这段时间内的平均速度为 10m/s
B. 在 这段时间内的平均速度为 12 m/s
C. 在 s 时的瞬时速度为 18 m/s
D. 在 s 时的瞬时速度为 16 m/s
【答案】BC
【解析】
【分析】应用平均速度计算判断 A，B，应用导函数计算瞬时速度判断 C，D.
【详解】在 这段时间内的平均速度为 m/s，故 A
错误，B 正确；
因为 ，所以 ，即在 s 时瞬时速度为 18m/s，故 C 正确，D 错误.
故选:BC.
10. 已知等比数列 的公比为 ，且 ，设该等比数列的前 项和为 ，前 项积为 ，下列选项
正确的是（ ）
A.
B. 当 时， 为递增数列
C. 单调递增的充要条件为
D. 当 时，满足 的 的最小值为 9
【答案】ABC
【解析】
【分析】分析可知 .对于 A：利用基本不等式分析判断；对于 C：分析可知 单调递增，等价于
，结合等比数列通项公式分析判断；对于 BD：结合等比数列通项公式判断 B；分析可知当
时， ；当 时， ；结合等比数列性质判断 D.
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【详解】因为 ，可知 ，
对于选项 A：因为 ，且 ，
则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，故 A 正确；
对于选项 C：若 单调递增，等价于 ，
又因为数列 为等比数列，则 ，
即 对任意 恒成立，等价于 ，
即 单调递增，等价于 ，所以 单调递增的充要条件为 ，故 C 正确；
对于选项 BD：若 ，则 ，且 ，即 ，
所以数列 为递增数列，故 B 正确；
当 时， ；当 时， ；
当 时， 为递减数列，且 ；
当 时， 为递增数列，且 ；
综上所述：当 时， ；当 时， ；
所以满足 的 的最小值为 10，故 D 错误；
故选：ABC.
11. 已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，且 ，过点 且
斜率为 的直线 交 于点 ，交 的一条渐近线于点 ，则（ ）
A. 若以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为 2
B. 若以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为
C. 若 ，则 的渐近线方程为
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D. 若点 不在圆 外，则 的渐近线的斜率的绝对值不大于 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意写出直线 的方程，与渐近线方程联立求出点 的坐标,对于 A，由圆的性质得 ，
结合向量数量积坐标运算求得 间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于 B，由三角函数求出
， ，结合双曲线定义求得 的值，由此可求离心率，对于 C，由 知 为线段 的
中点，求出点 的坐标，代入双曲线方程求得 的值，由此可求渐近线方程；对于 D，由双曲线的定义及
余弦定理的推论求出 ，由条件建立不等式可求 的取值范围，再求 的取值范围.
【详解】如图，连接 ，
由题意知直线 的方程为 ，即 ，
直线 与双曲线 的渐近线 平行，
所以 ，
则 ， ，
联立方程 ，解得 ，即 ，
对于 A，因为以 为直径的圆经过点 ，则 ，
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因为 ， ，
所以 ，
解得 ，则 的离心率 ，所以 A 正确；
对于 B，因为以 为直径的圆经过点 ，
则 ，则 ， ，
所以由双曲线的定义知 ，可得 ，
所以 的离心率 ，所以 B 不正确；
对于 C，若 ，则 为线段 的中点，所以 ，
于是由 在双曲线 上，得 ，即 ，
解得 ，所以 ，
则 的渐近线方程为 ，所以 C 正确；
对于 D，因为 ，所以 ，
由余弦定理的推论得 ，
即 ，
解得 ，因为点 不在圆 外，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的渐近线的斜率的绝对值不大于 ，所以 D 正确．
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故选：ACD．
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
（1）求出 ，代入公式 ；
（2）只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为关于 的齐次式，然后等式
（不等式）两边分别除以 或 转化为关于 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 （ 的取值范
围）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 _______．
【答案】4
【解析】
【分析】由 ， 的关系即可求解；
【详解】由 ，
故答案为：4．
13. 过点 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由几何关系直接求解即可.
【详解】设 ，由几何关系知，当直线与 垂直时，原点到直线的距离最大，
，故直线斜率为 ，直线方程为 ，
整理得：
故答案为：
14. 数列 ： ， ，则 ______.
【答案】990
【解析】
【分析】分奇偶对 n 讨论，再分组后利用等差数列求和公式得解.
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【详解】当 为奇数时， ， ，则 ，
当 为偶数时， ， ， 两式相加得 ，
则
，
故答案为：990
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得切线的斜率为 ，利用导数的几何意义列方程求 ；
（2）条件可转化为 在 上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论.
【小问 1 详解】
设曲线 在点 处的切线的斜率 ，
直线 斜率为 ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，即 ，
又 的导函数 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
【小问 2 详解】
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由若 在 上单调递增，可得 在 上恒成立，
由（1）可得 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 ，其中 ，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 是棱 上一点且 ，求平面 与平面 的夹角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面 法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小问 1 详解】
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在 中，由 ， ，则 ，
由 ， 为公共边，则 ，
所以 ，由图可知 ，
则 ，即 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
在 中，由 ，则 ，
由 ，则 ，即 两两垂直，
以 以原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如下图：
在 中，由 ， ，则 ，
设 ，则 ， ， ， ，
取 ， ， ， ，
由 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ；
令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量 .
平面 的一个法向量 ，
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设平面 与平面 所成角的大小为 ，
.
17. 森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020
年 12 月 12 日，习近平主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新
征程》的重要讲话，宣布“ 到 2030 年，我国森林蓄积量将比 2005 年增加 60 亿立方米 ”.为了实现这一
目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地 2020 年底的森林蓄积量为 120 万立
方米，森林每年以 25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉
万立方米 的森林.设 为自 2021 年开始，第 年末的森林蓄积量 .
（1）请写出一个递推公式，表示 二间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中 ， 为常数；
（3）为了实现本地森林蓄积量到 2030 年底翻两番的目标，每年的砍伐量 最大为多少万立方米？（精确到
1 万立方米）（可能用到的数据： ， ， ）
【答案】（1） ；（2） . ；（3）19 万立方米.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到 ；
（2）若递推公式写成 ，则 ，再与递推公式比较系数；
（3）若实现翻两番的目标，则 ，根据递推公式，计算 的最大值.
【详解】解：（1）由题意，得 ，
并且 .①
（2）将 化成 ，②
比较①②的系数，得 解得
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所以（1）中的递推公式可以化为 .
（3）因为 ，且 ，所以 ，由（2）可知 ，所以
，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
其通项公式为： ，
所以 .
到 2030 年底的森林蓄积量为该数列的第 10 项，
即 .
由题意，森林蓄积量到 2030 年底要达到翻两番的目标，
所以 ，即 .
即 .
解得 .
所以每年的砍伐量最大为 19 万立方米.
【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
1.型如： 的数列的递推公式，采用累加法求通项；
2.形如： 的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
3.形如： 的递推公式，通过构造转化为 ，构造数列
是以 为首项， 为公比的等比数列，
4.形如： 的递推公式，两边同时除以 ，转化为 的形式
求通项公式；
5.形如： ，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
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18. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，过焦点 F 作斜率为 k 的直线交抛物线 C
于 A，B 两点，且 .
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）设点 ，直线 AD，BD 分别交准线 l 于点 G，H，则在 x 轴的正半轴上是否存在定点 M，使得
？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存 ，
【解析】
【分析】（1）设出直线方程，直曲联立，用韦达定理表示出向量的数量积即可；
（2）设 ，表示出两直线的斜率，再由点斜式得到直线 AD 的方程，进而得到
，由坐标表示数量积为零求解即可；
【小问 1 详解】
由题意，知 ，
设抛物线 C 的标准方程为 ，
直线 AB 的方程为 ，
联立 ，消去 x，得 ，
，
设 A ，B ，则 ，
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所以 ，解得 或 （舍去），
所以抛物线 C 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
假设在 x 轴的正半轴上存在定点 ，使 ，
设 ，
由（1）知 ，
显然直线 AD，BD 的斜率存在，将其分别设为 ，
则 ， ，
则直线 AD 的方程为 ，
令 ，得 ，同理，得 ，
故 ，
由 ，得 ，即 ，
故 ，解得 或 （舍去），
即在 x 轴的正半轴上存在定点 M，使得 ，且定点 M 的坐标为 .
19. 已知等比数列 各项均为正数， ， ， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项
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之积为 ，且 ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（3）设 ，若数列 的前 项和 ，证明： ．
【答案】（1） ， （2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据条件求出首项及 可得 ，由 代入
可得 为等差数列即可求解；
（2）由（1）可知 ，利用错位相减法求和即可求解；
（3）由（1）可知 ，利用裂项相消法求和后根据单调性及有界性即可得证.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
， ， 成等差数列，
， ，
化为： ， ，解得 ．
又满足 ， ， 即 ，解得 ．
，
数列 的前 项之积为 ，
，
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，
即 ，
是以 2 为公差的等差数列.
又 ，即 ，
所以
（2） ，
，
，
两式相减得，
，
（3）
所以数列 的前 项和
，
又 ， 是单调递增，
所以 .
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