陕西省西安高新第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安高新第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，其中i为虚数单位，则（ ）
A 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数除法运算法则求，然后求模即可.
【详解】因为，
所以
故选：B.
2. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开目标式，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】由题设，.
故选：B.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，根据交集概念求出答案.
【详解】，
又，所以.
故选：B
4. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，，若，可得，故充分性成立；
由，即，，可得，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解.
【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且，
当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
图象如图所示，由，得到或（舍），
又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，，
所以选项A，B和C错误，选项D正确，
故选：D.
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解.
6. 函数在区间上的零点个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】令，可解得，根据解的个数可得.
【详解】，
令可得或(舍去)，
因为区间有2个根，所以在区间上的零点个数为2.
故选：A.
7. 在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
8. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约. “梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为( )
A. 79米B. 157米C. 113米D. 189米
【答案】B
【解析】
【分析】先求摩天轮的角速度，从而得到两人相差的角度，再建立人距离地面的高度关于转动角之间的函数关系，从而得到所在的高度之和的函数模型，再利用三角函数性质求出最值.
【详解】因为摩天轮匀速旋转一周时间为18分钟，所以摩天轮的角速度为，
又因为甲乙两人进入各自座舱的时间相差6分钟，
所以两人相差的角度为，
设第二个人进仓后转动角时对应的高度为，
因为摩天轮直径约为86米，总高约100米，
所以摩天轮底部距离地面高度为14米，摩天轮半径约为43米，
所以，
因为甲乙两人相差的角度为，
所以甲乙两人所在的高度之和为：，
所以，
所以，
化简可得，
又根据题意可知，所以，
所以当时，即时，取得最大值.
故选：B.
二、多选题（每题5分，共15分．全部选对分，选对但不全的得部分分，错选0分）
9. （多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则与的夹角为钝角D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可.
【详解】
故选：AD.
10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期D. 与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
11. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，共15分．）
12. 已知向量，，满足，，且，则____．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解.
【详解】由题，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案为：.
13. 若，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】先由已知条件求出，然后利用两角差的正弦公式计算即可得到答案．
【详解】，，
，
故答案为：．
14. 函数，其中表示不超过a的最大整数，则函数的定义域为______．若，则函数的的值域为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①可由对数函数的定义域取整的概念即可直接求得答案；
②可得，再令，则，通过分析可得，则答案可求.
【详解】①：由题意可得x2>0，所以，
解得或，即的定义域为；
②：由题意得，，
令，则，
，，
而，
因为函数在单调递增，由于，
所以，因此，
故答案为：；.
四、解答题（第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，第19题14分)
15. 已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．
（1）求复数；
（2）求复数；
（3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．
【答案】（1）
（2）
（3），，另一根为
【解析】
【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的除法的运算求解；
（3）将代入方程运算求出，代回方程求解.
【小问1详解】
，
所以复数的共轭复数为．
【小问2详解】
因为，
所以
所以
【小问3详解】
若是关于的方程的一个根，则，
即，
所以
解得：，，
则，即，
所以方程另一根为．
16. 已知函数.
（1）某同学利用五点法画函数在区间上的图象.他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数.
①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间；
②若函数在上无零点，求的取值范围(直接写出结论).
【答案】（1）答案见详解
（2）①； ②
【解析】
【分析】（1）令为可完善表格，描点可得图象；
（2）①先求出的解析式，根据周期可得，然后可得单调区间；
②先求的范围，再根据没有零点列出限制条件，可得范围.
【小问1详解】
表格填写如下：
图象如下：
【小问2详解】
①由题意，
，，即.
令,解得.
所以g(x)的单调递增区间为.
②， 时，，
因为函数在上无零点，所以，解得，
所以的取值范围为(0，1) .
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；
（2）若，求b．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【小问1详解】
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
【小问2详解】
由正弦定理得：，则，则，.
18. 在锐角中，，，为角，，所对边，且．
（1）求角；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及两角和正弦公式化简即可得解；
（2）化边为角，利用三角恒等变换化简后，根据正切函数求值域即可得解.
【小问1详解】
由正弦边角关系，
即，
所以，
即，
可得，由可得，
由知．
【小问2详解】
由（1）知，，．
由正弦定理知，，
可得，，
故周长为
．
由是锐角三角形知，，，即，．
又，故，，
，
故，，
所以，
故周长的取值范围是．
19. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.
（1）若，，且，，计算，的值；
（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
【答案】（1），；（2）4；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据定义直接计算即可得出答案；
（2）根据题意，得仅有1个1或3个1，再分仅有1个1时，仅有3个1时，时，三种情况分类讨论即可得出结论；
（3）根据时，，则，得只有3种情况，，且成对出现，从而可得出答案.
【详解】解：（1），
；
（2）设，，，
时，为奇数，则仅有1个1或3个1，
时，为偶数，
①当仅有1个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为1，
此时，共4个元素，
②当仅有3个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为0，
此时，共4个元素，
③当时，则，不符题意，舍去，
综上所述，集合中元素个数的最大值为4；
（3），，
时，，则，
则只有3种情况，，且成对出现，
所以B中最多有个元素，.
【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系，考查了分类讨论思想及分析问题的能力，难度较大.
A
√
根据向量的运算律可知，A正确
B
×
表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等
C
×
当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角
D
√
若与中至少有一个零向量，则，此时与共线；
若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得．
又，所以或，即与共线，反之也成立．
综上，
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
x
0
0
2
0
0
x
0
0
2
0
-2
0