2024-2025学年河北省石家庄市新乐一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市新乐一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 单位向量均相等
B. 单位向量e=1
C. 零向量与任意向量平行
D. 若向量a，b满足|a|=|b|，则a=±b
2.设{e1,e2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是( )
A. e1−e2与e2−e1B. 2e1+3e2与−4e1−6e2
C. e1+2e2与2e1−e2D. −12e1+18e2与e1−14e2
3.已知向量a=(−2,m),b=(32,−2)，若(a+b)⊥a，则m=( )
A. 32B. 1C. −1D. −32
4.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB=a，AC=b，以向量a，b为基底，则向量AE=( )
A. 12a+bB. 14a+12bC. a+12bD. 12a+14b
5.在△ABC中，已知AB= 2AC，B=30°，则C等于( )
A. 45°B. 15°C. 45°或135°D. 15°或105°
6.已知平面向量a，b和实数λ，则“a=λb”是“a与b共线”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知△ABC的边BC上有一点D满足BD=3DC，则AD可表示为( )
A. AD→=−2AB→+3AC→B. AD→=34AB→+14AC→
C. AD→=14AB→+34AC→D. AD→=23AB→+13AC→
8.已知向量a=(m−3,n)，b=(2,−1)(其中m>0，n>0)，若a与b共线，则4m+12n的最小值为( )
A. 94B. 3C. 4615D. 9
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2(A2)=b+c2c，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形
10.已知a与b为非零向量，OA=a+b,OB=2a−b,OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ+μ=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
11.设向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且b⊥(a+b)，则向量b在向量a+2b上的投影向量为( )
A. a+2bB. −(a+2b)C. −12(a+2b)D. 14(a+2b)
12.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，△ABC的面积为 32，b=1，∠A=60°，则b+csinB+sinC的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
13.已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E分别是AB，AC上的点，满足AD=DB,2AE=EC，连接CD，BE交于点G，求GA⋅AC=( )
A. −725B. 365C. 725D. −365
14.如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM=2，则|MA+MB+2MC|的最大值是( )
A. 5
B. 8
C. 10
D. 12
二、多选题：本题共5小题，共30分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
15.已知向量a=(3,−1),b=(1,2)，则下列选项正确的是( )
A. a⊥b
B. |a+b|= 17
C. 已知c=(t,1)，若a//c，则t=−3
D. a与b夹角的余弦值为 25
16.下列关于向量的说法正确的是( )
A. 若a//b，b//c，则a//c
B. 若动点P满足OP=OA+PB+PC，则点P为△ABC的重心
C. 若a⋅c=b⋅c且c≠0，则a=b
D. 若非零向量a，b满足a⋅b=|a|⋅|b|，则a//b
17.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则( )
A. AE+AF−AC=0
B. AE=23AB+13AD
C. AF=13AB+23AD
D. FQ=23AB−16AD
18.已知向量a=(2,1)，b=(1,−1)，c=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且(a−b)//c，则下列说法正确的是( )
A. a与b的夹角为钝角B. 向量a在b上的投影向量为 22b
C. 2m+n=4D. mn的最大值为2
19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBcsC=b2a−c，S△ABC=3 34，且b= 3，则( )
A. csB=12B. csB= 32C. a+c= 3D. a+c=2 3
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
20.已知a=(3,−4)，则a方向上的单位向量的坐标为______．
21.已知|a|=2,|b|=4，则|a+b|的最大值为______．
22.已知向量a，b满足a=(2,0),|b|=1,a⋅b=1，则向量a与a−b的夹角为______．
23.如图所示，在△ABC中，AN=14NC，P是BN上的一点，若AP=611AB+mAC，则实数m的值为______．
24.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，正八边形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAF(λ,μ∈R)，则λ+μ的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的最小值为______．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c= 7，且csA+12a=b．
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
26.(本小题12分)
如图，直角梯形ABCD中，|DA|=2，∠CDA=π3，DA=2CB，角B为直角，E为AB的中点，DP=λDC(0≤λ≤1)．
(1)当λ=13时，用向量DC，DA表示向量PE；
(2)求|PE|的最小值，并指出相应的实数λ的值．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.A
10.D
11.D
12.C
13.A
14.C
15.BC
16.BD
17.BCD
18.CD
19.AD
20.(35,−45)
21.6
22.π6
23.111
24. 2 −2 2
25.解：(1)由余弦定理得a2+b2−c22ab+12a=b，即a2+b2−c2+a2b=2ab2，
即(a+b)2−2ab−c2+ab(a−2b)=0，即18−ab(2+2b−a)=0，
将a=5−b代入整理得b3−6b2+5b+6=0，即(b−2)(b2−4b−3)=0，
解得b=2或b=2+ 7或b=2− 7(舍)，
因为|a−b|=|5−2b|