2024-2025学年河南省部分名校高一下学期3月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省部分名校高一下学期3月联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列量中是向量的为( )
A. 课桌的高度B. 一段路程的公里数
C. 上课时老师敲击黑板的频率D. 小汽车受到路面的弹力
2.已知集合A=1,a，集合B满足A∪B=1,e,π，则a的所有可能取值的集合为( )
A. 1B. eC. πD. e,π
3.已知向量m=2,−1，n=−1,3，则m⋅m−n=( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
4.已知向量a=3,−1，向量b=3,4，则a在b上的投影向量的坐标为( )
A. 35,45B. −35,45C. 35,−45D. −35,−45
5.若a，b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为( )
①a−b和2025b−2025a ②a+b和a−b
③a−2b和2a−b ④a−2b和4b−2a
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
6.已知3x×9y=3xy，且x，y>0，则x+2y的最小值是( )
A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8
7.在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为θ00，N1+N2=600，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值．
19.(本小题17分)
如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为π2，C为线段OA的中点，D是AB⌢上一动点(包含A，B两点)．

(1)求AD⋅OD的取值范围；
(2)当∠AOD=π4时，以OA，OB为一组基底向量表示CD；
(3)若CD=xCA+yCB(x，y∈R)，求x+y的最大值．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.B
6.D
7.B
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12.∃x∈0,12,x≤tan2x
13.π2/12π/90 ∘
14.2
15.(1)
证明：因为E为AB的中点，所以AE=EB，
则ME=MA+AE=MA+EB=MA+MB−ME，
故ME=12MA+MB．
(2)
由AB=CD，AB//CD，则四边形ABCD为平行四边形，
由向量的概念可得在四边形ABCD中，与ME共线的向量有
EM，FM，MF，EF，FE，AD，DA，BC，CB．
(3)
证明：设AB=kCDk≠0，又因为AB//CD，所以AM=kMC，BM=kMD，
由(1)知ME=12MA+MB，同理MF=12MC+MD，
其中12MA+MB=−k2MC+MD，所以ME=−kMF，
故E，M，F三点共线．

16.(1)证明：由正弦定理可得a2−c2a−b=b，即a2−c2=ab−b2，
由余弦定理a2+b2−c2=2abcsC，
得csC=12，
又C∈0,π，故C=π3．
(2)证明：若A=π3，则▵ABC是等边三角形，则a=b，
而由asinA−csinCa−b=sinB可知a≠b，矛盾，故A≠π3，得证．
(3)因为∠ADC=∠ACB，∠CAD=∠BAC，
所以▵ADC∽▵ACB，
由相似可知AC2=AD⋅AB，
又AD=2BD=2，
故c=3，b=AC= 6
又a2−c2=ab−b2，代入得a2− 6a−3=0，
解得a= 6+3 22(负值舍去)，
即a的值为 6+3 22．

17.(1)在▵ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC，
即AC2=102+202−2×10×20×−12=700，
故AC=10 7米．
设该人工圆形湖泊的半径为R，
故2R=ACsin∠ABC=10 7 32=20 213，
所以该人工圆形湖泊的直径为20 213米．
(2)易得S▵ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=12×10×20× 32=50 3，
因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADC=180 ∘−∠ABC=60 ∘，
设AD=x，CD=y，由余弦定理可得AC2=700=x2+y2−xy≥xy，
所以S▵ADC=12xysin∠ADC= 34xy≤ 34×700=175 3，
当且仅当AD=CD时取等号，
故四边形ABCD面积的取值范围为50 3,225 3(平方米)．

18.(1)由题意得lnt=lnt0+NN0−1，故
两式相减可得ln4e24e3=300−400N0，故N0=−100−lne=100，
故t0=4e2e300100−1=4e2e2=4．
(2)由(1)可知t=4eN100−1，当N=600时，t=4e5，
故所需的处理时间为4e5秒.
(3)t=4eN1100−1+4eN2100−1≥8 eN1100−1×eN2100−1=8 eN1+N2100−2=8 e4=8e2，
当且仅当N1=N2=300时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为8e2秒.

19.(1)设∠AOD=θ，AD⋅OD=AO+OD⋅OD=AO⋅OD+OD2=4−OA⋅OD，
因为∠AOD=θ∈0,π2，
故OA⋅OD=4csθ∈0,4，
所以AD⋅OD的取值范围为0,4．
(2)CD=CO+OD=−12OA+OD，
则OD在OA方向上的投影向量为ODcsθ⋅OAOA=csθ⋅OA，
OD在OB方向上的投影向量为OD⋅csπ2−θ⋅OBOB=sinθ⋅OB，
所以OD=csθ⋅OA+sinθ⋅OB，
所以CD=−12OA+OD=2csθ−12OA+sinθ⋅OB，
将θ=π4代入，得CD= 2−12OA+ 22OB．
(3)因为CA=12OA，CB=CO+OB=OB−12OA，
所以CD=xCA+yCB=x−y2OA+yOB，
又由(2)知CD=2csθ−12OA+sinθ⋅OB，
故x−y=2csθ−1,y=sinθ,
则x+y=2csθ−1+2sinθ=2 2sinθ+π4−1，
因为θ∈0,π2，所以当且仅当θ=π4时，sinθ+π4取得最大值1，
故x+y的最大值为2 2−1．