河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期3月第一次联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期3月第一次联考数学试卷（Word版附解析），共26页。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的终边在第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
2. 设，；，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知为第二象限角，则的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
4. 若，，．则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 要得到函数，图象，可以将（ ）
A. 先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
C. 先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变
7. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”．某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ）

A. B. 0C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的终边经过，，则
B
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 若角和角的终边关于轴对称，则
10. 下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 定义域为B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称D. 定义域上单调递增
11. 定义运算，则对函数的描述中，正确的选项是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最小值为
C. 在上单调递增D. 关于直线对称
12. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
C. 若函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是
D. 若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 时钟的分针长，从到，分针转过的角的弧度数为______．
14. 已知函数的定义域为，且满足，，请设计一个满足条件的函数解析式，______．
15. 将函数的图像整体向右平移个单位长度后，得到的函数图像对应一个偶函数，则______．
16. 已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明和证明过程或演算步骤）
17. 如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）求值．
18. 某同学用“五点法”画函数的图象时，作出以下表格：
（1）请将上表补充完整，并直接写出的解析式；
（2）求函数在上最值及对应的的值．
19. 已知函数，其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为，且直线是图象的一条对称轴．
（1）求，的值，并求出的对称中心；
（2）求在上的单调递增区间．
20. 已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
（1）若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
（2）若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
21. 深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．

（1）游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式；
（2）已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求．
22. 函数的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

（1）若方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
0
3
1
3
2024年春期六校第一次联考
高一年级数学试题
命题学校：方城五高 审题学校：菊潭高中
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的终边在第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】B
【解析】
【分析】求出与终边相同，得到所在象限.
【详解】与终边相同的角可表示为，．
当时，．易知终边在第二象限．
故选：B
2. 设，；，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解三角函数得到，，故，，得到答案.
【详解】，，所以，
但，是的充分不必要条件．
故选：A．
3. 已知为第二象限角，则的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据角所在象限得到，，进而化简求值．
【详解】是第二象限角，
，，故．
故选：B．
4. 若，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据及三角函数的单调性，得到，比较出大小.
【详解】，在上单调递增，
∴，
又在上单调递增，故，
又，故，
又在上单调递减，
故．
所以.
故选：A．
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD，再求出特殊点的函数值，得到答案.
【详解】定义域为，
且，
所以函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D．
又，故A错误.
故选：C．
6. 要得到函数，的图象，可以将（ ）
A. 先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
C. 先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和伸缩变换和平移变换的法则得到答案.
【详解】可转化为，
的图象先向右平移个单位得到的图象，
再把图象上各点的横坐标缩小为原来的得到的图象，
B正确，其他选项错误．
故选：B
7. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”．某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，．
故函数的周期为，，
可得，位移的大小即，故令，
得，
所以，或，
解得，或，．
故总时间为：
．
综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为．
故选：D．
8. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ）

A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得到，，从而得到函数最小正周期，故，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，结合函数的周期求出答案.
【详解】由的解析式可知，，
中，令得，令得，
故，，即，．
故的周期．即，解得，
故，则，得，．
因为，所以．则．
，，，
，，，
，，……，
因为，．
所以．
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的终边经过，，则
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 若角和角的终边关于轴对称，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据k的正负判断A，根据诱导公式判断B，根据三角函数在坐标轴上的符号判断C，由对称及三角函数的定义判断D.
【详解】当时，，故A选项错误；
，B正确；
时，的终边在第一或第四象限或轴非负半轴，C错误；
因为，角和角的终边关于轴对称，
结合三角函数定义可知，即，故D选项正确．
故选：BD
10. 下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 定义域为B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称D. 在定义域上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.
【详解】函数的定义域为，A错误；
最小正周期，B错误；
解得，
所以图象的对称中心为点，当时，对称中心为点，C正确；
当时，，当时，，
因为，，
所以由单调性的定义可知，D错误．
综上，ABD符合题意.
故选：ABD
11. 定义运算，则对函数的描述中，正确的选项是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最小值为
C. 在上单调递增D. 关于直线对称
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，
函数的部分图象如图：
对于A，当时，，
，当时，
，，
因此，，即是的周期，由图象知，是的最小正周期，A正确；
对于B，函数在上单调递增，在上单调递减，
而，因此在上的最小值为，
由于的周期为，所以在R上的最小值为，B错误；
对于C，由选项B知，在上不单调，C错误；
对于D，当时，，
，当时，
，，
所以对，，即关于直线对称，D正确.
故选：AD
12. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
C. 若函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是
D. 若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由的范围求出的范围，又由是单调增或减区间的子区间列不等式可判断A，B；判断函数在上零点的个数可判断C；判断函数在上最值的个数可判断D.
【详解】对于AB．在上单调，所以，即．解得．
当时，．
因为，所以，．
当在上单调递增时，，解得．故A错误；
当在上单调递减时，，解得．故B正确；
当时，，若函数在上有且仅有一个零点，
则，解得．故C正确；
当时，，
因为，
若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
则．解得．故D正确．
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 时钟的分针长，从到，分针转过的角的弧度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的定义及弧度制定义得到答案.
【详解】分针是顺时针旋转，所以转过的角．
故答案为：
14. 已知函数的定义域为，且满足，，请设计一个满足条件的函数解析式，______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得关于中心对称且关于直线轴对称，即可得到结果.
【详解】由题意：函数的定义域为，
关于中心对称；
关于直线轴对称，符合以上性质的函数均可，
结合余弦型函数的对称性，比如的解析式可以为：．
故答案为：（答案不唯一）
15. 将函数的图像整体向右平移个单位长度后，得到的函数图像对应一个偶函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得平移之后的图像解析式，再由函数图像关于轴对称，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】把函数的图像整体向右平移个单位长度后
得到函数，
若该函数为偶函数，则，，
解得，．
当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以．
故答案为：
16. 已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式作出函数图象，根据性质找出的值，结合图象即可得解.
详解】大致图象如图：
，，．
当时，或．
如上图所示，当时，恒成立．
所以的取值范围为．
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明和证明过程或演算步骤）
17. 如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【小问1详解】
在单位圆上，且点在第二象限
，
解得．
由三角函数定义可知，
【小问2详解】
18. 某同学用“五点法”画函数的图象时，作出以下表格：
（1）请将上表补充完整，并直接写出的解析式；
（2）求函数在上的最值及对应的的值．
【答案】（1）表格见解析，；
（2）当时，当时
【解析】
【分析】（1）由表格数据求出、、、，即可得到解析式，再根据五点法完善表格；
（2）由的取值范围求出的取值范围，再由余弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由表格数据可知，解得，又，解得，
所以的解析式为．
完善后表格如下：
【小问2详解】
，
，，，
当即时，取得最大值，最大值为．
当即时，取得最小只，最小值为.
所以当时，当时.
19. 已知函数，其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为，且直线是图象的一条对称轴．
（1）求，的值，并求出的对称中心；
（2）求在上的单调递增区间．
【答案】（1），，，．
（2）和．
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的性质求出函数的解析式，令，即可得出答案.
（2）先求出的单调递增区间，再令和与取交集，即可得出答案.
【小问1详解】
的周期．
最高点与最低点距离为．
解得或（舍）．
又是图象的一条对称轴，
，解得，，
，．
．
令，得，，
的对称中心为点，．
【小问2详解】
令，．得，
的单调递增区间为，．
当时，递增区间为
当时，递增区间为
在上单调递增区间为和．
20. 已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
（1）若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
（2）若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
【答案】（1），最小值为；
（2），最大值为．
【解析】
【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解.
（2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解.
【小问1详解】
，
则．
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立．
此时．
当时，最小，最小值为．
【小问2详解】
，．
．
当，即时，．
当时，最大，最大值为．
21. 深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．

（1）游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式；
（2）已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系求出解析式即可；
（2）令，解出时间，即为达到最佳视觉效果时刻，求解即可.
【小问1详解】
以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．

由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则．
所以关于的函数解析式
【小问2详解】
令，则．
或，
或，
可得当时，，．当时，，
综上所述，该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果的时刻．
22. 函数的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

（1）若方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据给定的图象求出函数的解析式，进而求出，再求出在的值域即可得解.
（2）由（1）求出及在上的值域，再换元并分离参数，借助二次函数求出最大值得解.
【小问1详解】
观察函数图象知，，函数的周期，则，即，
由，即，得，而，则，
因此，，
则，
由，得，
当时，，，于是，
所以实数的取值范围是．
【小问2详解】
由（1）知，由，得，则，，
令，则，，不等式恒成立，
等价于，不等式恒成立，
当时，不等式恒成立，则；
当时，不等式恒成立，，
而，当且仅当，即时取等号，于是，
所以的取值范围为.0
3
1
3
0
3
1
1
3