河南省部分名校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省部分名校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列量中是向量的为（ ）
A. 课桌的高度B. 一段路程的公里数
C. 上课时老师敲击黑板的频率D. 小汽车受到路面的弹力
【答案】D
【解析】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向，
弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量.
故选：D．
2. 已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知，所以，因此或π，
所以a的所有可能取值的集合为．
故选：D．
3. 已知向量，，则=（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】B
【解析】由题意可得，故．
故选：B．
4. 已知向量，向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在上的投影向量为．
故选：A．
5. 若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①和；②和；③和；④和.
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【答案】B
【解析】由题意可得，是平面内一组基底向量.
，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故①错误；
假设与是一组共线向量，由平面向量基本定理可得存在非零常数k使得，易知k不存在，矛盾，故与不是共线向量，可以作为一组基底向量，故②正确；
同理可得和也不共线向量，可以作为一组基底向量，故③正确；
，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故④错误，
故满足题意的为②③.
故选：B．
6. 已知，且，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可得，且，均为正数，
故，
即，当且仅当，时取等号.
所以的最小值为.
故选：D.
7. 在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，则，
即，解得，
因为，故，
故．
故选：B．
8. 记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由是钝角三角形且可得，，故，
由题意知，，故，；由得，，故．
由得，，则，
故，由知，线段BD的取值范围是．
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数（a，b为常数），则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则与表示同一个函数
C. 若，则为奇函数
D. 若，则为偶函数
【答案】BD
【解析】由幂函数定义可得，解得，故A错误；
若，则，，定义域、对应关系、值域均相同，
故与表示同一个函数，故B正确；
若，则，故为偶函数，故C错误；
若，则，故为偶函数，故D正确.
故选：BD．
10. 如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 四边形ABCD的面积为
C. 外接圆的周长为D.
【答案】BC
【解析】由题意可得，
所以，故A错误；
过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F，
，
则四边形的面积为=，故B正确；
因，
在直角三角形中，易得，
设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得，
故外接圆的周长为，故C正确；
因，，
，故D错误.
故选：BC．
11. 已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 当时，的值域为
C. 在，上单调递增
D. 若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则
【答案】ACD
【解析】由题意可得
．
易得的最小正周期为，故A正确.
当时，，其值域为，故B错误.
当时，单调递增，
故在上单调递增，故C正确.
当时，，此时；
当时，，
此时；
当时，，故且.
当时，，此时；
当时，，此时.
故．
综上所述，，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题p：，的否定为______．
【答案】，
【解析】原命题的否定为：，．
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A=______．
【答案】
【解析】对于等式左边，；
对于等式右边，由于，
代入等式整理得，
由余弦定理可得，
故，因为，所以，
因为，所以．
14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】不妨固定向量，，的起点为同一点，
因为，由向量投影的性质，在方向上的投影向量的长度为1．
由，可知，故在向量方向上的投影向量的长度为1．
又因为，所以，，可以围成如图所示的直角三角形，
由图知，当与的夹角为时，平行于，此时取得最小值2．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题．
（1）证明：；
（2）若，写出2个与共线的向量（不用证明）；
（3）若，证明：E，M，F三点共线．
解：（1）证明：因为E为AB的中点，所以，
则，
故．
（2）由，，则四边形为平行四边形，
由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有
，，，，，，，，．
（3）证明：设，又因为，所以，，
由（1）知，同理，
其中，所以，
故E，M，F三点共线.
16. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若点D在线段AB上，，，求a的值．
解：（1）证明：由正弦定理可得，即，
由余弦定理，
得，
又，故．
（2）证明：若，则是等边三角形，则，
而由可知，矛盾，故，得证．
（3）因为，，
所以，
由相似可知，
又，
故，
又，代入得，
解得（负值舍去），
即a的值为．
17. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米．
（1）求该人工圆形湖泊的直径；
（2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围．
解：（1）在中，由余弦定理可得，
即，故米．
设该人工圆形湖泊的半径为R，
故，
所以该人工圆形湖泊的直径为米．
（2）易得，
因为A，B，C，D四点共圆，所以，
设，，由余弦定理可得，
所以，
当且仅当时取等号，
故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）．
18. 近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，．
（1）求，的值；
（2）若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间；
（3）若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值．
解：（1）由题意得，故，
两式相减可得，故，故．
（2）由（1）可知，当时，，故所需的处理时间为秒.
（3），
当且仅当时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为秒.
19. 如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为，C为线段OA的中点，D是上一动点（包含A，B两点）．
（1）求的取值范围；
（2）当时，以，为一组基底向量表示；
（3）若（x，），求的最大值．
解：（1）设，，
因为，故，
所以的取值范围为．
（2），
则在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
将代入，得．
（3）因为，，
所以，
又由（2）知，
故
则，
因为，所以当且仅当时，取得最大值1，
故的最大值为．