广西南宁市华侨实验高中2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西南宁市华侨实验高中2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题只有一个正确选项，共8小题，每题5分，共计40分）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据加法运算法则分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意.
故选：D.
3. 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. 与共线D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：与不共线，错误；
对选项D：向量不能比较大小，错误.
故选：B.
4. 在四边形中，若，则四边形为（ ）
A. 平行四边形B. 梯形C. 菱形D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线即可判断.
【详解】四边形ABCD中，若，
则，且，
所以四边形是梯形.
故选：B
5. 等边三角形中，与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果.
【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

故选：C．
6. 与向量平行的单位向量为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可得与向量平行的单位向量为即可求出.
【详解】因为，所以与向量平行的单位向量为．
故选：D．
7. 已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得
，由向量模的公式计算可得答案.
【详解】
如图，因为正方形的边长为1， , ,，
，
，
故选：D
8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，的面积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出角的值，利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为且，则，
因为，所以，，
由余弦定理可得，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.
【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确；
，，故C正确，D不正确．
故选：AC
10. 下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量的共线定理及基底的概念一一判定选项即可.
【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，
因为，，，
则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.
故选：ACD
11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则是钝角三角形
【答案】CD
【解析】
【分析】A中，由三角形内角和定理及诱导公式，可得，判断出A的真假；B中，由角的比值及三角形内角和定理，可得的大小，由正弦定理可得的值，判断出B的真假；C中，由正弦定理及三角形中大边对大角的性质可得，判断出C的真假；D中，由正弦定理及余弦定理可得角C为钝角，即判断出三角形的形状，可得D的真假.
【详解】A中，在三角形中，，所以A不正确；
B中，，又因为，可得，
由正弦定理可得：，所以B不正确；
C中，在三角形中，，由正弦定理可得，由大边对大角，可得，所以C正确；
D中，因为，
由正弦定理可得，所以，
因为，所以C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以D正确.
故选：CD.
三、填空题（共3小题，每题5分，共计15分）
12 若向量，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量模的公式直接求向量的模.
【详解】因为向量，所以
故答案为：.
13. 中，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】，，
故答案为：
14. 已知，则在上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由在上的投影向量公式计算即可.
【详解】解：由，
可得在上的投影向量为：..
故答案为：.
四、解答题（共5小题，共计77分）
15. 已知向量，．
（1）求的坐标；
（2）求的坐标；
（3）求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）利用平面向量线性运算的坐标表示可求出相应向量的坐标；
（3）利用平面向量数量积的坐标运算可得出的值.
【小问1详解】
因为向量，，则.
【小问2详解】
由题意可得.
【小问3详解】
由平面向量数量积的坐标运算可得.
16. 在中，内角、、的对边分别为、、.
（1）若，，，求和；
（2）已知，，，求；
（3）已知，，，求．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可求出的大小，可得出的值，再利用余弦定理可求得的值；
（2）利用余弦定理求解即可；
（3）根据余弦定理可得出关于的方程，解之即可.
【小问1详解】
在中，，，，则，所以，，
由余弦定理可得，故.
【小问2详解】
在中，因为，，，由余弦定理可得，
因为，故.
【小问3详解】
在中，，，，
由余弦定理可得，整理得，
因为，解得或，经检验，或均合乎题意.
因此，或.
17. 已知，，与的夹角是．
（1）计算：①，②；
（2）当为何值时，？
【答案】（1）①；②；（2）－7.
【解析】
【分析】（1）根据题意，计算可得的值，由数量积的运算律计算可得答案；
（2）由向量垂直与向量数量积的关系可得，变形可得，计算可得答案．
【详解】解：根据题意，，，与的夹角是，
则．
（1）①因为，
所以，
②因为，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
即，得．
故当时，．
18. 在中，，，，点，在边上且，．
（1）若，用表示，并求线段的长；
（2）若，，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)利用向量加法运算结合向量的模运算求解第一问；(2)利用向量数量积的逆运算求解向量的夹角的余弦值求解第二问即可.
【小问1详解】
设，，则-
，，，
所以，，
【小问2详解】
因为，，所以，，
所以，又，，-
.
19. 在中，角所对的边分别是，且满足
（1）求角；
（2）如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简已知等式求得，由此可得；
（2）利用正弦定理可求得，由余弦定理可得；
方法一：根据，利用余弦定理可得，根据可求得，进而得到三角形周长；
方法二：根据，由向量数量积定义和运算律可左右平方求得，根据可求得，进而得到三角形周长.
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，.
【小问2详解】
由正弦定理得：，解得：，即，
为边上中点，，
由余弦定理得：，即…①；
方法一：在中，，
在中，；
，，
即，整理得：…②，由①②得：，
，解得：，
的周长为.
方法二：由向量加法得：，
，即…②，由①②得：，
，解得：，
的周长为.