2021-2022学年广东省佛山市顺德区华侨中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省佛山市顺德区华侨中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式求得正确答案.

【详解】.

故选：A

2．函数的最小正周期是（　　）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据余弦函数的性质计算可得；

【详解】因为，所以函数的最小正周期；

故选：A

3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（       ）

A． B． C．[1，3] D．

【答案】B

【分析】根据题意，由，且求解.

【详解】设的周期为T，因为，即，解得，

由，

解得，

即在区间上单调递减，

因为，显然k只能取0，

所以且，

解得.

故选：B.

4．设，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得，进而求得.

【详解】由于，，

所以，

所以，

，

所以

.

故选：B

5．若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（       ）

A． B． C． D．π

【答案】A

【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.

【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为.

故选：A.

6．一个函数的图像如图所示，则它的表达式可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合题设函数图象，应用排除法即可确定解析式.

【详解】A：为奇函数，排除；

B：为奇函数，排除；

D：为偶函数，而，排除.

故选：C

7．已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数图象和直线．根据对数函数与正弦函数性质可得的性质，从而求得相应范围．

【详解】的零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出的图象和直线，如图，

，区间正好是的一个周期，和时取得最大值，因此是它在上的对称轴，，

由得，，

所以，它在时是增函数，

，，

所以的取值范围是．

故选：D．

8．若函数的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，错误的结论是（       ）

A． B． C．为偶函数 D．为奇函数

【答案】D

【分析】根据图象所过点以及相邻两条对称轴间的距离求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意：函数的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，

所以，A选项正确.

，

，

由于，所以，B选项正确.

所以，

为偶函数，C选项正确.

不是奇函数，D选项错误.

故选：D

二、多选题

9．已知函数，则（       ）

A．是奇函数

B．函数在区间上是减函数

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

【答案】BC

【分析】对于A，利用奇函数的定义判断即可，对于B，求出的减区间进行判断，对于C，代入验证可，对于D，利用三角函数图变换规律判断

【详解】对于A，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以A错误，

对于B，由，得，得， 所以函数在区间上是减函数，所以B正确，

对于C，因为，所以为函数的一条对称轴，所以C正确，

对于D，因为，所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，所以D错误，

故选：BC

10．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（       ）

A．点P第一次到达最高点需要10秒

B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米

C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

【答案】AC

【分析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.

【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为

，

由题意得：解得：

∴.

故D错误；

对于A.令h=6，即，即

解得：t=10，故A对；

对于B令t =35，代入，解得：h=4，故B错误；

对于C. 令t =25，代入，解得：h= -2，故C对.

故选：AC

11．已知函数，结论正确的有（       ）

A．是周期函数

B．的图象关于原点对称

C．的值域为

D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】对于A，利用周期的定义分析判断，对于B，判断函数的奇偶性，对于C，利用复合函数求值域的方法求解，对于D，利用复合函数求单调性的方法求解

【详解】对于A，因为，

所以是周期函数，所以A正确，

对于B，因为，

所以不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，所以B错误，

对于C，因为，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误，

对于D，令，则，因为在上单调递，在上递增，所以在区间上单调递增，所以D正确，

故选：AD

12．已知函数，则（       ）

A．当时，的最小正周期是 B．当时，的值域是

C．当时，为奇函数 D．对的图象关于直线对称

【答案】ABD

【分析】先把n值代入函数的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、值域；依据定义去判断奇偶性、对称轴即可解决.

【详解】选项A：当时，

最小正周期是.判断正确；

选项B：当时，

的值域是.判断正确；

选项C：当时，

则

故，即不是奇函数. 判断错误；

选项D：

则的图象关于直线对称. 判断正确.

故选：ABD

三、填空题

13．在中，有，试判断的形状______．

【答案】直角三角形

【分析】根据诱导公式与余弦二倍角公式即可求解角．

【详解】因为，所以

故，所以，则的形状为直角三角形．

故答案为：直角三角形．

14．已知对任意都有，则等于________．

【答案】

【分析】由给定等式可得图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.

【详解】因对任意都有，则直线是图象的一条对称轴，

所以.

故答案为：

15．使得成立的最小正数m的值为_________

【答案】

【分析】利用辅助角公式及同角之间的关系将已知条件转化为，利用正弦函数的性质可得到，进而可得解.

【详解】

即，，

当时，

所以使得成立的最小正数m的值为

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的化简，涉及辅助角公式，同角之间的关系，解题的关键是将已知条件转化为，考查学生的运算求解能力，属于一般题.

16．若函数在区间内至少有4次失去意义，则的最小值为______．

【答案】

【分析】根据题意，通过，表示出函数没有意义时的取值，再结合这些的取值中至少有4个在区间内，即可求解.

【详解】根据题意，若函数在区间内没有意义，

，，故，

因为函数在区间内至少有4次失去意义，

所以，解得且，

又因为且，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：

(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式；

(2)求使函数取得最大值的x的集合．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件依次求得的值，从而求得的解析式.

（2）利用整体代入法求得使函数取得最大值的x的集合.

【详解】(1)依题意，

根据表格数据可知，

，

，

所以.

(2)由（1）得，

由得，

所以使函数取得最大值的x的集合为.

18．函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点B，C，M为最高点，且的面积为．

(1)求函数的解析式；

(2)若，求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的面积，即可求出的值，进而根据周期公式的值，再根据点在函数图象上，结合的取值范围，即可求出的值，进而求出函数的解析式；

（2）根据，可知，再根据三角函数的性质，即可的取值范围，进而求出函数的值域．

【详解】(1)解：的面积，

即周期，则，由，

得，∵∴，∴．

(2)解：∵，∴，

∴，即．

∴的值域为.

19．观察以下等式：

①

②

③

④

⑤

(1)对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；

(2)根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

【答案】(1)答案见解析；

(2)；证明见解析.

【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即得；

（2）根据式子的特点可得等式，然后利用和差角公式及同角关系式化简运算即得,

【详解】(1)

猜想：

(2)三角恒等式为

证明：

=．

20．如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点在直径上，点在圆周上．

(1)设，矩形的面积为，求表达式，并写出的范围；

(2)怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积．

【答案】(1)

(2)时，矩形的面积取得最大值.

【分析】（1）解直角三角形求得，由此求得的表达式.

（2）结合三角函数最值的求法，求得矩形的最大面积，以及此时的值.

【详解】(1)依题意可知，

所以，

即.

(2)由（1）得，

所以当时，取得最大值为，

也即时，矩形的面积取得最大值.

21．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用辅助角公式结合图象的变换得出，再根据对称性得出，从而得出函数的解析式；

（2）由得出，利用正弦函数的性质结合方程在上恰有两个实数根，得出实数的取值范围.

【详解】(1)解：

将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数为

∴

∴

又

∴

∴.

(2)∵

∴

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减.

且，.

∵方程在上恰有两个实数根.

∴

∴实数a的取值范围为.

22．已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为.

(1)求的值及的单调递减区间；

(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）化简，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；

（2）化简，

令，得到，结合函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，函数

，

因为的最小值为，

所以的最小正周期，解得，所以，

由，

解得，

所以的单调递减区间为.

(2)解：由

，

因为，可得

令，则，

所以，，即，即

令，可得，

又由函数在为递减函数，所以，

所以，解得，即实数的取值范围是.