广西南宁市桂鼎学校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西南宁市桂鼎学校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了考生作答时，请将答案填在答题卡，考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案填在答题卡．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡
上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上
各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一，单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法中，正确的有（ ）个．
①零向量没有方向；
②向量的模一定是正数；
③与非零向量共线的单位向量是唯一的．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】对于①：根据零向量的定义分析判断；对于②：举反例数列即可；对于③：根据单位向量的定义结合共线向量分析判断.
【详解】对于①：零向量的方向是任意的，故①错误；
对于②：零向量的模长为0，故②错误；
对于③：与非零向量共线的单位向量是，不是唯一的，故③错误；
综上所述：正确的有0个.
故选：A.
2. 下列等式不正确的是( )
①；
②；
③.
A. ②③B. ②C. ①D. ③
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量加法的运算律判断即可.
【详解】对于①，，正确；
对于②，，错误；
对于③，，正确.
故选：B
3. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
4. 中，点D满足：，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量加减及数乘运算法则得到，求出.
【详解】∵，
∴，
故，
所以，故.
故选：C
5. 已知向量，若，则实数的值是（ ）
A. -4B. -1C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值.
【详解】由于，
所以，解得.
故选：A
6. 已知，，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】由得：，即有，而，则，
于是得，又，解得，
所以与的夹角是.
故选：D
7. 在中，若，则为（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得 ，从而可得答案．
【详解】解：在中， ，
，
为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
8. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，B，C三点不共线
C. B，C，D三点共线D. B，C，D三点不共线
【答案】BC
【解析】
【分析】运用向量共线的判定来证明向量是否共线，若共线则得到三点共线，若不共线，则三点不共线.
【详解】，，
假设存在使得，即，即，
因向量，不共线，则，该方程组无解，
故不存在使得，则不共线，故A错误，B正确；
，，则，则共线，
又有公共点，所以三点共线，故C正确，D错误
故选：BC.
10. 已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上的投影向量为B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据投影向量的定义分析判断；对于B：根据向量平方与模长的关系分析判断；对于C：根据向量垂直的数量积关系分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断.
【详解】由题意可知：，且，
对于选项A：在上的投影向量为，故A正确；
对于选项B：可得，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C正确；
对于选项D：因为不一定为1，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A，由正弦定理及条件，得到，即可求解；选项B，化边为角，再利用倍角公式可得或，即可求解；选项C，利用正弦定理边角转化及正弦的和角公式，即可求解； 由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．
【详解】对于选项A，由正弦定理，若，则，
又为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，所以选项A正确，
对于选项B，若，由正弦定理得，即，
，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以选项B错误，
对于选项C，由正弦定理得，得到，
所以，得到，所以一定是等腰三角形，故选项C正确，
对于选项D，当时，由余弦定理可得，即为锐角，
但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，所以选项D错．
故选：AC．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合正弦定理可求，由余弦定理可求，然后代入三角形的面积公式即可求解．
【详解】因为，
由正弦定理得，
即，
且，则，
可得，即，
又因为，由余弦定理可得，则，
所以的面积为.
故答案为：.
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为______．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，根据题意设三边长，结合余弦定理运算求解即可.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，可得，
可设，则，
所以.
故答案为：.
14. 在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则当时，______；当时，______
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，进而代入求解即可.
【详解】因，由正弦定理可得，
且，则，可得，
若，则；
若，则，
且，所以.
故答案为：1；.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算可得.
【小问1详解】
【小问2详解】
小问3详解】
16. 的内角，，的对边分别为，，．已知.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，，求的面积．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合正弦定理可求，进而可求；
（2）由已知结合余弦定理可求，，然后结合三角形面积公式可求．
【小问1详解】
解：由正弦定理，得，又，所以，
又为的一个内角，，
或；
小问2详解】
解：为锐角三角形，则，
由余弦定理，
所以，解得（负值舍去），所以．
．
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足．
（1）求A的大小；
（2）若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A；
（2）由数量积公式可得，再由余弦定理求出，根据三角形面积公式利用建立方程求解即可.
【小问1详解】
因为，
∴，
因为，所以，
所以，又，
∴，
所以，即.
【小问2详解】
由，得，
∴，又，
∴，
可得，
∵，
∴，
所以.
18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，，点D在边AC上，且，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此求得
（2）利用余弦定理求得，进而求得，从而求得，利用正弦定理求得.
【小问1详解】
由于，
所以，
所以，所以为锐角，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，
所以，所以，
由于，所以为锐角，
所以，
所以
,
在三角形中，由正弦定理得.
19. 已知.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，可得且，
则
【小问2详解】
解：由向量，可得，
因为，可得，
即，解得.