广西柳州市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广西柳州市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数是虚数单位则（ ）
A. 复平面内z对应点在第二象限B.
C. z的虚部是2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数与复平面的关系得到对应点的位置，共轭复数与复数的关系得到，由的系数得到虚部的值，由实部和虚部求得复数的模长，从而得解.
【详解】对应的点为，在第四象限，故A错误；
，故B正确；
z的虚部是，故CD错误.
故选：B.
2. 已知角的终边经过点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数的定义即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果.
【详解】易知，
所以
.
故选：B
4. 某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（ ）
A 或B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形，在中解三角形即可求解.
【详解】
如图：，，，，
在中由余弦定理可得：，
即，
所以，即，
解得：或，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可.
5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则为
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【详解】余弦定理得代入原式得
解得
则形状为等腰或直角三角形,选D.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数性质，对数函数性质证明，，，再利用单调性比较，可得结论.
【详解】因为函数为增函数，函数为减函数，
所以，
又指数函数在上单调递增，所以，所以.
故选：C.
7. 已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出即可．
【详解】根据函数，，在一个周期内的图象，
可得，，．
再根据五点法作图，可得，所以，由于，，
故选：C.
8. 如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】由点为中点得：，因为，所以，
因为，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果．
【详解】先平移后伸缩：
函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；
先伸缩后平移：
函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即．
故AD符合题意.
故选：AD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 两个非零向量和，若，则与垂直
C. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或
D. 已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
【答案】BC
【解析】
【分析】取，可判断A；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；将垂直关系转化为数量积为零，结合单位向量的定义可求向量坐标，进而判断C；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错；
对于B选项，两个非零向量和，若，则，
整理可得，故与垂直，故B对；
对于C选项，设与垂直的单位向量为，
由题意可得，解得或，
所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对；
对于D选项，已知向量，
则在上的投影向量为，
所以，，解得，故D错．
故选：BC.
11. 的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A B.
C. 角A的最大值为D. 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先将向量的数量积转化为，再根据余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，即可求解.
【详解】，故A错误；
根据余弦定理，则，故B正确；
由A知，，，则，故C正确；
，，当时，面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12. 若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可.
【详解】根据题意得，该扇形的面积为.
故答案为：.
13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得.
【详解】由余弦定理得，得，
所以.
故答案为：
14. 若函数上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：函数在的值域为，所以函数上有两个不同的零点应满足函数与函数有两个交点，所以.
考点：函数性质的应用.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求坐标；
（2）若为单位向量，且，求与的夹角.
【答案】（1）或者
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由已知条件，列方程组求未知数；
（2）由，求出，可得与的夹角.
【小问1详解】
设，由已知可得，
解得或，
所以或者.
【小问2详解】
由已知，.
由得，
即，即，所以，
所以.
因为，，故.
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；
（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17. 记的内角所对的边分别为已知向量，，且.
（1）求角；
（2）若为的中点，，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示先找出中的边角关系，利用三角恒等变换和边角互化进行求解；
（2）利用，平方后列出关于边长的条件，然后根据三角形的面积公式求解.
【小问1详解】
由题意知，
所以，
由正弦定理可知，
即，
因为，所以，
所以，即得，
因为，所以.
【小问2详解】
因为为的中点，
所以，
所以，所以，
所以，①
由余弦定理可知，
所以，②
由①②得，
所以.
【点睛】
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果.
（2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果.
【小问1详解】
由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
∵为锐角三角形，∴，∴，∴
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即．
所以周长的取值范围为．
19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）0或1；
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得；
（2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解；
（3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得.
【小问1详解】
当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为0或1；
【小问2详解】
由得，，
即在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
的取值范围；
【小问3详解】
由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.