2023-2024学年广西柳州市铁一中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年广西柳州市铁一中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则( )
A. A∩B={x|x<0}B. A∪B=R
C. A∪B={x|x>1}D. A∩B=⌀
2.已知函数f(x)=lnx,01，则f(103)等于( )
A. −9ln3B. 9ln3C. −27ln3D. 27ln3
3.已知a=2−1.1，b=ln3，c=12lg23，则( )
A. a4.已知平面向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−35,−45)B. (35,45)C. (−14,−13)D. (14,13)
5.函数f(x)=x2+4x+1x2+1的部分图像大致是( )
A. B.
C. D.
6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0A. 16B. 25C. 36D. 49
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )
(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
8.设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实x，恒有f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2.若g(x)=f(x)−lgax在x∈(0,+∞)在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为( )
A. (18,16)∪(3,7)B. (18,16)∪(4,6)C. (19,15)∪(3,7)D. (19,16)∪(4,6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“∃x∈[0,1]，x+a≤0”是假命题的实数a的取值范围为{a|a>0}
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D. “关于x的不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>14
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若tanA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
C. 若A=30°,b=4,a=2 3，则△ABC有两解
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
11.在如图所示的三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，OA，OB，OC两两互相垂直，下列结论正确的为( )
A. 直线AB与平面OBC所成的角为30°
B. 二面角O−BC−A的正切值为 2
C. O到面ABC的距离为 3
D. 作OM⊥平面ABC，垂足为M，则M为△ABC的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足2z+z−=3−2i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为______．
13.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中抽取部分产品.若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为______．
14.已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,tan∠BAC=34，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a−c)csB−bcsC=0．
(1)求B；
(2)已知b= 3，求12a+2c的最大值．
16.(本小题15分)
已知A(4,0)，B(0,4)，C(csα,sinα)，(0<α<π)．
(1)若|OA+OC|= 21(O为坐标原点)，求OB与OC的夹角；
(2)若AC⊥BC，求sinα−csα的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=4.点E在侧棱PC上(端点除外)，平面ABE交PD于点F．
(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；
(2)若PF=3FD，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分(保留两位小数)；
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级.若两科笔试成绩均为A+，则直接参加；若一科笔试成绩为A+，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516.求甲、乙能同时参加冬令营的概率．
19.(本小题17分)
已知f(x)=a−22x+1(a∈R)是定义在R上的奇函数．
(1)求f(x)的值域；
(2)设函数g(x)=lg2x2⋅lg2x，若对任意的x1∈[1,2]，存在x1∈[0,1]，使得g(x1)=f(x2)+m，求m的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.B
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.−2
13.89
14.429
15.解：(1)因为(2a−c)csB−bcsC=0，由正弦定理可得(2sinA−sinC)csB−sinBcsC=0，
即2sinAcsB=sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)，
在三角形中，sin(B+C)=sinA>0，
所以csB=12，
又因为B∈(0,π)，
所以B=π3；
(2)B=π3，b= 3，
由正弦定理可得asinA=csinC=bsinB= 3 32=2，
所以a=2sinA，c=2sinC，
所以12a+2c=sinA+4sinC=sin(π3+C)+4sinC
= 32csC+12sinC+4sinC= 32csC+92sinC
= 21sin(C+φ)，tanφ= 39< 33，所以φ∈(0,π6)
所以sinφ= 3 3+81= 714，
因为C∈(0,2π3)，
所以当C+φ=π2，即C=π2−φ，
即csC=cs(π2−φ)=sinφ= 714时，sin(C+φ)取到最大值1，
所以12a+2c的最大值为 21．
16.解：(1)因为A(4,0)，B(0,4)，C(csα,sinα)，
所以OA=(4,0),OB=(0,4),OC=(csα,sinα)，
所以OA+OC=(4+csα,sinα)，
由|OA+OC|= 21，得(4+csα)2+sin2α=21，
结合sin2α+cs2α=1，解得csα=12，
又因为0<α<π，所以α=π3，即C(12, 32)，
设OB与OC的夹角为β(0≤β≤π)，
则csβ=OB⋅OC|OB||OC|=2 34= 32，
又因为0≤β≤π，故OB与OC的夹角为π6；
(2)由AC⊥BC，得AC⋅BC=0，
又因为A(4,0)，B(0,4)，C(csα,sinα)，
所以AC=(csα−4,sinα)，BC=(csα,sinα−4)，
所以(csα−4)csα+sinα(sinα−4)=0，
所以sinα+csα=14，
两边同时平方化简可得：2sinαcsα=−1516<0，
又因为0<α<π，所以π2<α<π，
所以(sinα−csα)2=1−−1516=3116，
所以sinα−csα= 314．
17.(1)证明：因为AB//CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，
所以AB//平面PCD，
又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB//EF，
因为EF因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF，
所以四边形ABEF为直角梯形．
(2)解：(法一)以A为原点，向量AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
所以AB=(4,0,0),AP=(0,0,4),PD=(0,4,−4),PC=(4,4,−4)，
因为PF=3FD，
所以AF=AP+PF=AP+34PD=(0,0,4)+(0,3,−3)=(0,3,1)，
设m=(x,y,z)为平面ABEF的法向量，则m⋅AB=0,m⋅AF=0,即4x=0,3y+z=0,
取y=1，则z=−3，所以m=(0,1,−3)，
设直线PC与平面ABEF所成角为θ，则sinθ=|cs|=|m⋅PC||m|⋅|PC|=4+12 10×4 3=2 3015，
所以直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为2 3015．
(法二)因为AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面PAD，
作PM⊥AF，垂足为M，
因为平面ABEF∩平面PAD=AF，PM⊂平面PAD，
所以PM⊥平面ABEF，

连接EM，则∠PEM为直线PC与平面ABEF所成的角，
在Rt△PAD中，因为PA=AD=4，所以PD=4 2，
因为PF=3FD，所以PF=3 2，
在△APF中，∠APF=45°，
由余弦定理，得AF2=42+(3 2)2−2×4×3 2cs45°=10，
所以AF= 10，
因为S△PAF=12×AF×PM=12×PA×PFsin45°，
所以 10PM=4×3 2× 22，解得PM=12 10，
因为EF//AB//CD，AB⊥PD，所以CD⊥PD，
所以PE=3EC=34PC=34 PD2+CD2=3 3，
在Rt△PME中，sin∠PEM=PMPE=12 10×3 3=2 3015，
所以直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为2 3015．
18.解：(1)由频率分面直方图得[70,80)的频率为：
1−(0.015+0.030+0.010+0.005)×10=0.40，
∴[70,80)组的纵轴为0.40÷10=0.040，
∴补全频率分布直方图为：

∵(0.010+0.005)×10=0.15<0.3，
0.4+(0.010+0.005)×10=0.55>0.3，
∴第70%分位数位于[70,80)，且0.4−0.150.4×10+70=76.25，
∴入围分数线为76.25分．
(2)依题意从[80,90)抽取6×+0.005=4人，标记为1，2，3，4，
从[90,100]抽取6×+0.005=2人，标记为a，b，
从6人中随机选2人，基本事件有15个，分别为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，(3,4)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)，
设事件A为“至少有1名学生成绩不低于90”，
则事件A包含的基本事件有9个，分别为：
(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)，
∴至少有1名学生成绩不低于90的概率为P(A)=915=35；
(3)依题意甲能参加冬令营的概率为：
P甲=25×25+2×25×(16+112)×15=15，
乙能参加冬令营的概率为P乙=14×14+2×14×(15+25)×516=532，
二人互不影响，∴甲、乙能同时参加冬令营的概率为P甲P乙=15×532=132．
19.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=a−1=0，解得a=1．
经验证a=1符合题意，
所以f(x)=1−22x+1，
当x≥0时，2x≥1，
所以22x+1≤1，所以0≤1−22x+1≤1，
即f(x)在[0,+∞)上的值域为[0,1)．
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)在(−∞,0)上的值域为(−1,0)，
则f(x)的值域为(−1,1)；
(2)因为对任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[0,1]使得g(x1)=f(x2)+m，
所以函数g(x)在[1,2]上的值域是函数f(x)+m在[0,1]上的值域的子集．
g(x)=lg2x2⋅lg2x=(lg2x−1)⋅lg2x=(lg2x)2−lg2x=(lg2x−12)2−14．
因为1≤x≤2，
所以0≤lg2x≤1，
所以−12≤lg2x−12≤12，
则0≤(lg2x−12)2≤14，
所以−14≤(lg2x−12)2−14≤0，
即−14≤g(x)≤0，
因为0≤x≤1，所以2≤2x+1≤3，
则23≤22x+1≤1，
所以0≤1−22x+1≤13，
即0≤f(x)≤13，
所以m≤f(x)+m≤13+m，
则m≤−1413+m≥0，解得−13≤m≤−14，
即m的取值范围是[−13,−14].

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