辽宁省实验中学2024-2025学年高一下学期期初测试数学试题（解析版）

这是一份辽宁省实验中学2024-2025学年高一下学期期初测试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，且，则M可以（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】由于，,故,
故选：B
2. 命题p：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.
【详解】因为命题：，，所以为：，.
故选：C.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据特殊函数值排除部分选项即可得到答案.
【详解】由已知的
，即是奇函数，图象关于原点对称，排除D，
，排除C，
，所以在是减函数，排除B，
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4. 在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由得，充分性成立，是钝角三角形，钝角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.
【详解】解：设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，考查向量数量积的概念，是基础题.
5. 函数的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时取“”.
故选：B
6. 如图为2014—2022年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、2010—2022年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）统计图，则下列结论正确的是（ ）

A. 2014—2022年中国游戏用户规模逐年增长
B. 2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为
C. 2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为223个
D. 2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过1600个
【答案】D
【解析】
【分析】根据条形统计图、折线统计图逐项分析样本的数字特征即可判断.
【详解】A选项：2022年中国游戏用户规模比2021年少，A错误；
B选项：2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率从小到大依次为，，
，，，，，，，中位数为，B错误；
C选项：2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为（个），C错误；
D选项：
，D正确．
故选：D
7. 设，，，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质，分别求解得取值范围，即可得到答案．
【详解】由题意，根据指数函数和对数函数的性质，
可得，，，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的大小比较问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，准确求解得取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论.
【详解】令得；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令4得.
综上只有正确.
故选：A
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项B举反例即可，选项A利用不等式的性质即可判断；选项C,D利用函数的单调性即可判断.
【详解】对于选项A: 若，由不等式的基本性质即可得到，故A正确；
对于选项B：令，则，故B错误；
对于选项C：当时，则，设函数，
此函数区间上单调递增，故；
当时，则，设函数,
此函数在区间单调递增，故，
当时，则显然成立，故C正确；
对于选项D: 若,设函数，此函数在实数域上单调递增，故，故D正确；
故选：ACD
10. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义及基本初等函数在上的单调性，对各个选项逐一分析判断即可得出答案.
【详解】对于A，，定义域为，
，所以函数为偶函数，
当，在上单调递增，故A不符题意；
对于B，，定义域为R，
，故函数为偶函数，
当，在上单调递减，故B符合题意；
对于C，，定义域为R，
，所以函数为偶函数，
当，在上单调递减，故C符合题意；
对于D，，定义域为R，
，所以函数为偶函数，故D不符题意.
故选：BC.
11. 下列说法中（ ）
①若方程有一正一负两个实根，则；
②函数是偶函数，但不是奇函数；
③若函数的值域是，则函数的值域为；
④曲线和直线的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ACD
【解析】
【分析】由韦达定理即可判断①，求出函数的定义域即可判断②，由换元法结合二次函数的值域即可判断③，列出方程，代入计算，即可判断④.
【详解】对于①，若方程有一个正实根，一个负实根，则，
解得，所以是正确的；
对于②，函数有意义，则，解得，因此，
所以函数既是偶函数，又是奇函数，所以不正确；
对于③，令，则，则，其中，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为，故正确；
对于④，一条曲线和直线有公共点，则，
所以，即，所以，
因此公共点的个数可以是，故的值不可能是，所以正确；
故选：ACD
三、填空题
12. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的性质，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】的定义域满足，解得，
故定义域为，
故答案为：
13. 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数，由此能求出同学甲被抽到且乙抽不到的概率．
【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，
基本事件总数，
同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数，
则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力．
14. 设函数f(x)＝若f(2)＝4，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，2]
【解析】
【详解】因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)
四、解答题（满分77分）
15. （1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，，求ab的值．
【答案】（1）；（2）2；（3）8
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解；
（2）根据指数幂的运算性质即可求解；
（3）根据指对互化，即可根据对数的运算性质求解.
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）由，，可得，．
所以.
16. 我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变，经过5570年(叫做的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若的原始含量为，则经过年后的残余量(与之间满足.现测得出土的古莲子中残余量占原始量的，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；，.
【答案】古莲子约为1036年前的遗物
【解析】
【分析】
由的半衰期，计算可得，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值.
【详解】由题意可得，
即，
解得，
由，
即，
两边取2为底的对数，可得，
，
则.
则古莲子约为1036年前的遗物.
【点睛】本题主要考查函数在实际问题中运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题.
17. 如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.

（1）用表示；
（2）如果，且，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；
（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，由，可得，
又，所以，
所以.
18. 设函数，
(1)方程有三个不等实根，求的值；
(2)当且时，求函数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】⑴由函数图像不难发现当取到对称轴时有三个不等实根，代入求出结果
⑵分类讨论不同取值情况下的不同最大值得到结果
【详解】(1)有三个不等实根，
则当时，

（舍去）
(2) 当且时，对称轴
①时，
，
1）
解得
2)
,
②时，
，
综上，
【点睛】在解答含有绝对值的题目时需要进行去绝对值，分类讨论化简得到函数表达式，然后讨论不同情况下的不同最值问题，属于中档题．
19. 对于任意两正数u，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知
（1）求，，
（2）对正数k和任意两个正数u，v，猜想与的大小关系，并证明;
（3）（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有
（ii）若，试说明：当时，.
【答案】（1），，
（2），证明见解析
（3）（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（2）由新定义可直接计算判断；
（3）（i）设， 由小于高为底为1的长方形面积、大于高为，底为1的长方形面积，可得答案；（ii）利用（i）可得答案.
【小问1详解】
由题意得，
，
；
【小问2详解】
对正数k和任意两个正数u，v，，
由题知，
，
故；
【小问3详解】
（i）设，由题意得，
由小于高为，底为1的长方形面积，得，
由大于高为，底为1的长方形面积，得，
所以对任意正数x，恒有
（ii）由（i）得
，
显然，当时，，所以.
【点睛】关键点点睛：第三额解题关键点是利用阴影部分的面积与相应梯形矩形的面积大小，可推出不等式.