辽宁省实验中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段测试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省实验中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段测试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为( )
A．B．
C．D．
2．某学校一同学研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ）
A．样本中心点为
B．
C．时，残差为
D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大
3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．4B．8C．10D．12
4．已知事件A，B，且则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列的前n项和为则的最大值为（ ）
A．60B．45C．30D．15
6．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）
参考公式：
A．12人B．18人C．24人D．30人
7．已知数列满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲,乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲,乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲,乙两人每局获胜的概率分别为,，且满足，每局之间相互独立.记甲,乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲,乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
二、多选题（本大题共3小题）
9．若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10．朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：）
A．是等差数列
B．
C．函数单调递增
D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180
11．甲乙两人用动漫卡牌玩游戏.游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏.现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知各项均为正数的等比数列的前项和， .
13．某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为 ，编码99共出现 次．
14．现有根草，每根草有2个草头，共有个草头，现将个草头平均分成组，每两个草头打结，则打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为等差数列的前项和，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前50项和.
16．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.
(1)试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
17．已知数列是公比不相等的两个等比数列，令.
(1)证明：数列不是等比数列；
(2)若，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18．学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？
19．设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求，；
(2)证明；
(3)已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．
参考答案
1．【答案】A
【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.
2．【答案】D
【详解】对于A项，因为，，
所以样本中心点为，故A项正确；
对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确；
对于C项，由B项知，，
令，则，
所以残差为，故C项正确；
对于D项，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变，故D项错误.
故选D.
3．【答案】D
【详解】 ，
，
，
，
解得：，
，
故选D．
4．【答案】B
【详解】由题意，，易知,
所以，
所以.
故选B.
5．【答案】B
【详解】因为
则，
则，则，
令，解得：，
因为是等差数列，
所以当时，，，当时，，
所以的最大值为.
故选B.
6．【答案】B
【详解】设男生人数为，女生人数为
男女人数为整数
故答案选B.
7．【答案】B
【详解】设，则，
得，
所以．
故选B
8．【答案】A
【详解】设每一轮训练过关的概率为，
则
，
，当且仅当时等号成立.
函数的开口向上，对称轴为，
所以，
依题意，，则，
，所以至少需要轮.
故选A.
【关键点拨】训练过关分为两种情况,一是两人2局都胜,二是两人有一人胜1局且另1人胜两局,所以每一轮训练过关的概率.
9．【答案】BD
【详解】
由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，
则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知，故A错误；
由原则可知，故B正确；
根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，
，建立方程，
整理可得，
则，故C错误；
易知，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】依题意，每层的果子数分别为，
则数列的通项，
对于A，时，，为等差数列，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，
，则，单调递增，C正确；
对于D，，D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行亦或求和，
若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态.
对于A，，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，A是；
对于B，：，非全零，甲胜：拿走第三盒，B是；
对于C项：，全零，乙胜，C不是；
D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，D是.
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】由题等比数列的公比为且，
所以，可得，
由，则，故，
所以.
13．【答案】 6
【详解】解：设主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…为，
因为，
，
，
，
，
将以上个式子相加，可得；
由编码观察可得，第行是首项为1，公差为的等差数列，则第行的第个数为，
令，则，
所以，或，或，或，或，或，
所以99共出现6次．
14．【答案】
【详解】如图所示，将根草的草头分别编号为，
当时，要使根草恰好能围成一个环，不妨先取定草头1，
而草头1只能与除了外的剩余个草头之一打结，
共有种方法，
经过此次打结后，相当于现有根草，则相当于再将根草进行打结，
设根草打结后可成圆的种数为，
那么经过一次打结后，根草打结后可成圆的种数为，
因此，即，
则，
当时，如图只能算一种结法，则，也满足上式.
于是，，
所以打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数是.
15．【答案】(1)；
(2)1670.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
因为，所以，即，解得，
所以.
（2）由（1）得，令，解得，
当时，，则；当时，，则；
所以
.
16．【答案】(1)适宜，
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故适宜作为y关于x的回归方程类型.
令，得，于是，
因为，，所以，，
所以，，即；
（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，
“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，
“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，
则，，
又，，于是
.
（ii）.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或
【分析】（1）要证明不是等比数列，只需证即可，由此计算即可证明结论；
（2）假设存在常数，使得数列为等比数列，利用等比中项性质，列式化简求解，可求得k的值的所有可能，验证即得结论.
【详解】（1）设的公比分别为，
为证不是等比数列，只需证.
而，
由于，且不为零，
因此，故不是等比数列.
（2）假设存在常数，使得数列为等比数列，
则有，
将代入上式，得，
即，
整理得，
解得或.
经检验，当时，，
此时数列为等比数列；
当时，，
此时数列为等比数列，
所以，存在常数或，使得数列为等比数列.
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)，取到34的可能性最大.
【详解】（1）抽签法随机抽取30名志愿者含甲的概率为，
随机数法抽取45名志愿者含甲的概率为
（2）由（1）知：甲每次被抽到的概率均为，则．
所以.
（3）设两次都被抽到的人数为随机变量，则，
故．
令，
故，
令则，即，
当时，；当时，．
因此，时最大，即最大，
所以取到34的可能性最大．
19．【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)，含义见解析
【详解】（1）事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡．
所以．
方法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂，
则的取值为，所以的取值集合为，
所以，
方法2．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则，，
所以，．
（2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，
有k个个体分裂，则的取值为．
在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则且．
因此．
设的取值集合为，则由全期望公式可知
．
这表明是常数列，所以．
（3）由（2）可知
．
这表明是公差为10的等差数列．
又因为，所以，
从而．
可以看出，随着n的增大而增大，而为定值．
这表明药物的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．x
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1
1
1
1
1
1
…
1
2
3
4
5
6
…
1
3
5
7
9
11
…
1
4
7
10
13
16
…
1
5
9
13
17
21
…
1
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
…
喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生



女生


总计