辽宁省实验中学2024−2025学年高二下学期3月期初考试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省实验中学2024−2025学年高二下学期3月期初考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线在轴上的截距是
A．B．C．D．
2．已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
3．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则该二面角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
5．抛物线0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且的面积为，则抛物线的方程为
A．B．C．D．
6．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是
A．B．C．D．
7．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）

A．2B．
C．D．4
8．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若，，则a的值为（ ）
A．B．8C．D．10
二、多选题（本大题共3小题）
9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
10．对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．直线不可能与平面垂直
C．的轨迹为抛物线的一部分
D．线段长度的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____
13．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
14．已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
16．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
18．已知双曲线E经过点
(1)求E的方程．
(2)若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D（C与A不重合），的中点为M，l与直线交于点G，直线与E交于另一点N，证明：
（i）轴；
（ii）四点共圆．
19．已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.
(1)折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为，直线l的方程为 .
(i) 求椭圆的标准方程.
(ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小.
(2)折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】 由题意，令，则，即，所以直线在轴上的截距为，故选B.
2．【答案】A
【详解】∵，的夹角为钝角，∴，即.∴.
又当，的夹角为时，存在，使，∴，此方程组无解.综上，.
故选：A.
3．【答案】B
【解析】因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案.
【详解】
可得:其圆心为
根据点到直线距离公式可得到距离为:

设与直线距离是.
根据平行线间距离公式可得:
解得:或
与直线距离是的直线有两条:和
又圆心到距离:
圆心到距离:
如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个.
圆与不相交,
如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个,
圆只能与相交,与相离
.
故选:B.
4．【答案】C
【详解】
由条件，知．
，
，即，
所以二面角的大小为，
故选：C．
5．【答案】C
【分析】
设点坐标，由关系得点坐标由表示，
再由的面积可解得，从而得解.
【详解】
设 由可得：
又因为 所以
即 解得 或（舍去），
所以
所以 解得
因为 所以
故选C.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，关键由线段的长度关系转化到点的坐标关系，属于难度题.
6．【答案】D
【详解】试题分析：击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为，故选D.
考点：独立重复试验的概率.
7．【答案】B
【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，
则，由，，
所以，所以椭圆方程可化为，
由，两式相减得，
，则，
根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.
则，
直线的方程为.
将代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以双曲线方程可化为，
由消去并化简得，
设，解得，所以，
所以.
故选：B
8．【答案】C
【详解】
设，直线的倾斜角为，
则，直线的斜率为，
为的中点，，
，，
，，
，，，，
，
又，
，直线的方程为，
联立，得，
，，即，
.
故选：C.
9．【答案】ACD
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
10．【答案】ACD
【详解】对任意实数x有
，
所以，故A正确；
令，可得，故B不正确；
令，可得，故C正确；
令，可得，故D正确．
故选：ACD．
11．【答案】ACD
【详解】由于平面，根据正方体性质，知道，A选项显然正确；
以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分，
其在坐标平面内的方程为；
到直线的距离即为的长，到平面的距离即为到直线的距离，
由此的轨迹为抛物线的一部分，其在坐标平面内的方程为，故C选项正确；
由平面知，，横坐标相等，设为，
设，，，，
，故D选项正确；
当即，时直线与平面垂直.故B选项错误.
12．【答案】
【详解】∵直线x−y−1=0的斜率为1，
∴过点B直径所在直线方程斜率为−1，
∵B(2,1)，
∴此直线方程为y−1=−(x−2)，即x+y−3=0，
设圆心C坐标为(a,3−a)，
∵|AC|=|BC|,即，
解得：a=3，
则圆C方程为.
13．【答案】288
【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法.
所以不同的排法种数有：（种）.
故答案为：288
14．【答案】
【详解】在中，因为，所以，
过点在平面中作于点，则，
所以，所以，，
取中点，连接，在三角形中，因为，所以，
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，所以，
设，且，
所以，，
设直线与直线的夹角为，
则
，
因为，所以当时，，
所以当时，，
因为，所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)，
从6名成员中挑选2名成员有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，，
记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为，，，，共有5种，故．
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则，
由（1）知，故．
（3）由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，则，故．
16．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）设圆心，
由题可得圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为；
（2）当直线轴，则轴必平分，此时可以为轴上任一点，
当直线与轴不垂直时，设直线方程为，
设，
由，可得，经检验，
所以，
若轴平分，则，即，
整理得，
即，解得，
综上，存在点，使得x轴平分.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）

连接AC，BD得交点O，连接SO，则点O是正方形ABCD的中心，
是等腰三角形， ,
又 ， 平面SBD， 平面SBD， ，
平面SBD， 平面SBD，∴ ；
（2）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，
由面，面，则，
设底面边长为a，则，，
，由等面积法，得出 ，则 ，
∵P是ND的中点，O是BD的中点，
∴，面，面，故面，
又平面，平面，则面，
，面BNE，则平面BNE平面PAC，
面BNE，则平面APC，
，，
综上，存在， .
18．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）因为E经过点，所以，
因为E经过点，所以，得，
所以E的方程为
（2）（i）由题意知l的斜率存在且不为0，，
故设，，则，即
由消去x，得
所以
设，则
由，解得，所以
所以直线，即．
设，由得，又，
所以，因为，所以轴．
（ii）由弦长公式可知，
因为
所以
所以，又M为的中点，所以点N在以为直径的圆上．
因为
所以点A也在以为直径的圆上．
综上，四点共圆．
19．【答案】(1)（i）；（ii）
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）（i）由椭圆定义可知，，
则的周长为，
解得，
即椭圆方程为；
（ii）设，，，，
联立直线与椭圆，
得，
解得，，
即，，
如图所示，过点作轴于点，则，
折叠后，
过作平面，连接，
则轴，且直线在平面上的投影为，
且，
则，
分别设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，，，
且，，，
即，，
又，，，
则，
则，
由直线与平面夹角的平面角为，
则，
所以直线与平面夹角为；
（2）设，，
则，，，
联立直线与椭圆，
得，，
则恒成立，
且，，
又，
则，
即，
即，不为定值，
所以不存在定值，对于任意，始终成立.