辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期期中阶段测试数学试卷（Word版附解析）

展开

这是一份辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期期中阶段测试数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，则（）
A．B．C．D．
2．已知，则的否定是（）
A．B．
C．D．
3．设，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知的定义域是，则的定义域是（）
A．B．C．D．
5．已知，则的最小值是（）
A．3B．2C．6D．2
6．若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（）
A．B．C．D．
7．已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．已知函数，若当时，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，则（）
A．B．
C．D．
10．若函数有且只有两个正零点，则（）
A．B．C．D．
11．已知的定义域为，且，则（）
A．B．
C．是偶函数D．是奇函数
三、填空题
12．不等式的解集是
13．已知为奇函数，则实数
14．已知是实数，且，则的最小值是
四、解答题
15．已知全集．
(1)若，求；
(2)确定实数的取值范围，使．
16．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求：
(1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数；
(2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围．
17．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求，的值；
(2)证明：在上单调递减；
(3)直接写出的值域（不要求证明）．
18．记不等式为不等式（*）．
(1)当时，解关于的不等式（*）；
(2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围；
(3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值．
19．定义在上的函数满足：对任意非零实数．
(1)证明：为偶函数；
(2)若，且当时，．
（i）证明：在上单调递增；
（ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】，，.
故选：B.
2．C
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
可得命题的否定为：.
故选：C.
3．B
【详解】化简可得或，
化简可得，
因为是或的真子集，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．A
【详解】由函数的定义域是，可得，
令，解得，所以的定义域是.
故选：A.
5．D
【详解】已知，故，所以：
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：D.
6．C
【详解】由已知：当时，，
所以函数在上不存在零点，
当时，因为函数和函数在单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，，，
根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为，
故选：C.
7．A
【详解】由函数，可得
因为函数在为单调递增函数，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
8．B
【详解】由函数，
（1）当时，即时，可得，
可得的图象开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递增，
要使得，则，即，解得；
（2）当时，即时，，
①当时，函数在上单调递减，在单调递增，
②当时，函数在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
因为，
所以当时，不等式不能恒成立，
综上可得：实数的取值范围为.
故选：B.
9．AC
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，当时，，B错误；
C选项，，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，C正确；
D选项，，
因为，所以，又因为，所以，
因为，所以，所以，
即，D错误；
故选：AC.
10．BCD
【详解】函数有且只有两个正零点，设这两个正零点为，
，，
故选：BCD.
11．ABD
【详解】定义在上的函数，满足，
对于A，取，得，则，A正确；
对于B，取，得，因此，B正确；
对于C，取，得，则，取，
得，因此，不是偶函数，C错误；
对于D，令，则，
因此，是奇函数，D正确.
故选：ABD
12．
【详解】当时，，此时，此时无解；
当时，，此时，此时解集为：，
故答案为：.
13．
【详解】由函数，可得，
因为函数为奇函数，所以，
即，可得，解得.
故答案为：.
14．.
【详解】设，则，
代入已知条件，可得，则，
所以，
设，可得，
因为存在实数，即方程有解，
则满足，即，
解得，即；
当时，由，可得，此时，
因为，所以的最小值为.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，或；
故，
或；
（2）由题意得，易知，
由，得或，
即或
故的取值范围是.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得，
故.
所以利润表示为月产量的函数为.
（2）当时，，令，解得；
当时，，令，解得，所以，
所以月产量的取值范围是．
17．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意知，得，
由，得，
此时，
则，
即是奇函数，故．
（2）由（1）知，．
，则，
由，得，
即，而，
故，即
则在上单调递减；
（3）当时，，
当时，，当且仅当时取等号，
又，所以，
当时，由为奇函数，可得，
所以的值域是．
18．(1)时，解集为，时，解集为
(2)
(3)1
【详解】（1）当时，
当时，易知的解集是；
当时，不等式（*）为，
于是，
由知，则（*）的解集是．
综上所述：当时，的解集是；
由，（*）的解集是．
（2）当时，，
即．
当时，，
则不等式（*）的解集是
注意到，
故解集中三个整数为0，1，2，则，即
所以实数的取值范围是．
（3）不等式（*）整理为
令，注意到为的零点．
当时，在不恒成立；
当时，由及二次函数图像知，
是的不变号零点且二次函数图象开口向下
则且，则
则，当时，取最大值为1．
此时，，则满足题意．
所以的最大值为1．
19．(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）．
【详解】（1）（1）的定义域是
由知，，
故，于是为偶函数．
（2）（i），
由，知，
又当时，，故，
故，即
则在上单调递增．
（ii）由题，，
由及，得
，
由（i）知在上单调递增，
于是
则，
则
令，
当且仅当时等号成立，
则，
当时，即时，
则，即．