河南省南阳市完全学校2025届高三第二次调研考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市完全学校2025届高三第二次调研考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试日期：2025年2月14日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数是纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的运算性质化简，再利用纯虚数建立方程求解即可.
【详解】易知，故，
若是纯虚数，则，解得，故，显然，故B正确.
故选：B
2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论.
【详解】由，得，
解得且，
故实数的取值范围是．
故选：C．
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇函数判断排除B，C，在内选择特殊值得排除D.
【详解】函数是定义域为
函数，是奇函数，所以排除B，C，
又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，
如0.1，得，所以排除D．
故选：A.
4. 关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小正周期为D. 函数的最小值为2
【答案】C
【解析】
【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值.
【详解】对于A，的定义域为 R ，
因为 ，
所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确；
对于B，对于任意的，
，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误；
对于D，因为，设 ，
则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立，
所以函数 的最小值为2，故 D 正确.
故选：C.
5. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质可得，进而根据基本不等式求解最值.
【详解】由，可得，故，
故，
当且仅当，时取等号，故最小值为.
故选:C.
6. 甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数分别计算求解总的抽法和有且仅有2道代数题的抽法，再应用古典概型计算即可.
【详解】甲、乙二人从各自的10道题中各自独立地随机抽取2道题，不同的抽法共有（种），
其中有且仅有2道代数题的抽法共有（种），
所以甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为.
故选：C.
7. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：）
A. 3937万元B. 3837万元C. 3737万元D. 3637万元
【答案】A
【解析】
【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案.
【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.
依题意可得，则，
所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式.
8. 已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（ ）
A. ，使得
B. 函数的最大值为0
C. a的取值范围为
D. 过作切线，有且只有一条
【答案】D
【解析】
【分析】利用单调性说明的解判断A，由导数求最值判断B，由，使得求解判断C，设切点坐标为，代入所过点坐标求，引入新函数，由导数确定方程只有一个解，从而判断D．
详解】对于A，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，故A错误;
对于B，由A的分析可知，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值：，无最大值，故B错误;
对于C，由前面分析知，
由题可知：，使得
对于函数，，
当时，，
故无论a取什么值，均，使得，
则a的取值范围为R，故C错误;
对于D，不妨设切点，，
切线方程为，
把代入可得：，
即：
令，，
，
因为对恒成立，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以只有一个零点0，
即只有时，成立，
故过作的切线，有且只有一条，故D正确.
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 互不相等的一组样本数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的平均数等于的平均数
B. 的上四分位数和下四分位数之差为
C. 从这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为
D. 若的标准差为2，可得
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数、四分位数、等差数列性质以及方差等概念，通过对每个选项计算分析来判断其正确性.
【详解】对应A选项，首先看，根据等差数列下标性质知道，所以A选项正确.
对于B选项，当时，这个数按从小到大排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为.
当时，这个数按从大到小排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为，所以B选项错误.
对于C选项，从个数中选个数的组合数种.
而；；；这组能构成等差数列，所以这个数成等差数列的概率为，C选项正确.
对于D选项，已知，因为，，，，代入可得.
又已知，即，所以，D选项错误.
故选：AC.
10. 已知函数，若，且，则（ ）
A. 在上单调递增
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】分段函数，当时由导函数得到函数单调性和极值，当时是一个二次函数的一部分，由此作出函数大致图像，由函数图像对各个选项进行判定即可.
【详解】当时，，则，
由可得，则，，关系如下表所示：
，当时，.
当时，，其图像是关于直线对称且开口向上的二次函数图像的一部分，当时，.
故可作出的大致图像如图所示.

选项A：结合图像可知，在上单调递增，故A正确；
选项B：当时，，故B错误；
选项C：当时，，故C正确；
选项D：当时，，
因为，所以，故，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面直角坐标系中，已知点，，满足的动点的轨迹为曲线．则下列结论正确的是（ ）
A. 若点在曲线上，则点和也在曲线上
B. 点的横坐标的取值范围是
C. 曲线上点的纵坐标的最大值为2
D. 曲线与圆只有一个公共点
【答案】AC
【解析】
【分析】设点的坐标结合两点间距离公式再结合点在线上判断A,化简结合根式范围判断B,应用二次函数最值判断C,结合函数对称性判断公共点得出D.
【详解】选项A：设，由题意可知点的轨迹方程为．
点满足，
点也满足，故A正确．
选项B：将曲线的方程两边同时平方得，
整理得，解得，
所以，解得，故B不正确．
选项C：由选项B知，故当，
即时，取得最大值4，所以的最大值为2，故C正确．
选项D：由，得，代入，化简整理得，解得，
由选项A知曲线关于轴对称，所以曲线与圆有两个公共点，故D不正确．
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设（其中、），则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式计算的值，即可得出的值.
【详解】因为
，其中、，
故.
故答案为：.
13. 若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为_________________.
【答案】或
【解析】
【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据方程解得个数讨论求解.
【详解】将代入双曲线方程中得到：，
展开整理得.
当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点.
当时方程是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式，
展开得到：.
进一步化简为，则.
解得.
故答案为：或.
14. 已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解.
【详解】连接，由余弦定理得，
，
即，
即，
又四边形的面积
，
则
，
即，即，
当且仅当时，等号成立，
所以平面四边形面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次.
（1）求和的值；
（2）求的所有可能取值；
（3）求的分布列.
【答案】（1），
（2）1，，，，
（3）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解概率即可.
（2）结合题意求出所有符合条件的取值即可.
（3）先求出所有情况下的概率，再求解分布列即可.
【小问1详解】
由题意可得，，
.
【小问2详解】
由题意可得的所有可能取值为1，，，，.
【小问3详解】
，
，
，
故的分布列为
16. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件及正弦定理可得，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式可得，最后结合B，C的范围可证得结论.
（2）由已知条件及（1）可求出，然后利用正弦定理及二倍角公式化简所求式，进而得到结论.
【小问1详解】
由正弦定理及，知，
即，
所以，
所以或，
因为B，，所以，即
【小问2详解】
由（1）知，，又为锐角三角形，
所以，，
故，所以，得，
故
17. 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.

（1）求证：；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明，即可得到，从而得到平面，即可证明，再证明平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，再由空间向量法计算可得.
【小问1详解】
依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以，
所以，，，，，
则，所以，又，即，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，
设直线与平面所成角为，则 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

18. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
（1）求曲线T的方程；
（2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义确定曲线T为双曲线，求解a，b，c即可；
（2）（ⅰ）设直线方程与双曲线方程联立结合韦达定理线段的中点即为线段中点得解；（ⅱ）运用斜率公式表示，结合韦达定理求解.
【小问1详解】
设圆，的交点为M，则，，
因为，所以，
故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线T的方程为
【小问2详解】
（ⅰ）要证，
只要证线段的中点与线段的中点重合.
设，，其中，
由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为
因为直线l与圆相切，
所以，即
联立，消去y并整理得，
所以，
从而线段的中点横坐标为
又直线与直线和交点的横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
（ⅰⅰ）由条件，，即，
所以，
由题意知，，
所以
，
即为定值
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点；
（2）联立直线与曲线方程，得到一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题关系转化为韦达定理的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
（1）当时，证明：是等比数列；
（2）求的取值范围；
（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并结合等比数列定义判断即得.
（2）由递推公式分别求出，将等价转化求出范围，进而求出的范围.
（3）直线的斜率为，构造函数，利用导数确定函数的单调性，并推理证得，再由，即可得证.
【小问1详解】
由，得，又，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由，得，则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
，由，，得，.
等价于对于任意成立，即，
即，即，解得，
由点均为图象上的点，且，得，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
直线的斜率.
任取，设函数，求导得
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，，函数在和上都单调递增，
而数列单调递增，取，而，则，
取，而，则，
所以，即直线的斜率随单调递增．
【点睛】关键点点睛：利用斜率坐标公式求出，再构造函数并探讨单调性是证明的关键.
2
0
单调递增
极大值：
单调递减
1
2
3
4
5