河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以.
故选：A
2. 若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为在复平面内对应的点位于轴上，
所以，此时满足题设.
故选：C.
3. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ）
A. B. C. 10D. 20
【答案】B
【解析】由题可知，，
则在上的投影向量的长度为.
故选：B
4. 如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】由抛物线的标准方程可知：焦点为，又，则点，
所以点到焦点的距离为.
故选：C.
5. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，得，
解得，因，则，
因，解得或（舍）
故
故选：D
6. 在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因直三棱柱中，，
则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点，
如图所示，.
设棱柱的外接球的半径为，圆心为，
由，可得，由对称性知，O为中点，
由图，解得.
因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，
其体积为.
故选：B
7. 为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有种排法，
又六个节目演出，共有种排法，
由古典概率公式可知，所求概率为，
故选：A.
8. 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，
因为在区间上单调递增，所以，即，
当时，有，即，不成立，
当时，有，则成立，所以；
又在区间上都单调递增，
所以在，时恒成立，
所以在时恒成立，
因为，所以，
所以或，
又，所以，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（ ）
A. 两组数据的极差一定相等B. 两组数据的平均数一定相等
C. 两组数据的中位数可能相等D. 两组数据的方差不可能相等
【答案】BC
【解析】A．假设原样本数据为，则新样本数据为，两组数据的极差不相等，错误；
B．因为，所以两组数据的平均数一定相等，正确；
C．由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，正确；
D．假设原样本数据为，则新样本数据为，这两组数据一样，故方差可能相等，错误．
故选：BC．
10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ）
A. 点到的渐近线的距离为
B.
C. 的离心率为2
D. 分别以为直径的圆的公共弦长为
【答案】ACD
【解析】因为双曲线，所以，
又因为，可得，，
又因为，所以，，
则在中由余弦定理有，
即，解得或（舍），
则，则，所以，即点到点渐近线的距离等于，正确；
的离心率为，正确；
在中，由余弦定理可得有，则，解得，所以，错误；
过点作于点，因为,则点在为直径的圆上，
所以以为直径的圆的公共弦为，且，所以，正确.
故选：
11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 方程的所有实根之和为1
D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以在上为增函数，且的值域为，
又，所以，故正确；
对于B，因为，
所以，故正确；
对于C，因为，所以，
由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称，
所以两函数图象的交点也关于点对称，
则方程的所有实根之和为0，故错误；
对于D，易知为增函数，
由题得，
即，而，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
综上，实数的取值范围是，故正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________．
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为.
由题可知，则，所以，
因为，所以，
故答案为：.
13. 在中，内角对边分别为，若的平分线交于点，且，则___________．
【答案】
【解析】由面积相等，可得，
即，
化简得，
又.
由余弦定理可得.
故答案为：.
14. 记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为___________．
【答案】10101
【解析】因为，所以，
因为为正项数列，所以，则，
当时，，
故，
又对于，都有，
故
，
所以，
故当时，，又，
所以的前101项和为．
故答案为：10101．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）探究的单调性，并求其最值．
解：（1）设的公差为，
由题可得，解得，
所以，
即的通项公式为.
（2）由题意得，又是公比为2的等比数列，
所以，则．
所以，
因此，当时，，当时，，
所以，
所以数列先单调递减后单调递增，且有最小值，最小值为，无最大值．
16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
（2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望．
解：（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，
则，
所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．
（2）由题可知X所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
所以的分布列为
所以．
17. 已知函数．
（1）当时，证明；；
（2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
（1）证明：要证，即证．
当时，，∴我们可以考虑证明，
令，则，
易知在上单调递增，且，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴是的极小值点，也是最小值点，
故当时，，即，
因此，当时，．
（2）解：由题可知，则．
若，当时，，∴，
则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．
若，设，则在区间上恒成立，
∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
又，∴在区间上有唯一的零点，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴在区间内有唯一的极值点，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求的方程．
（2）若上的两点满足，则称点为上的一对伴点，设为上位于第一象限的一点，且点的横坐标为1．
（i）证明：点在上共有两个伴点；
（ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值．
解：（1）设的半焦距为．由题可知，解得
所以的方程为．
（2）（i）由题可知点的坐标为．
设点在上的伴点的坐标为，则，即，
所以点在上的伴点在直线上．
联立方程得解得或
所以点在上所有伴点的坐标分别为，
即点在上共有两个伴点．
（ii）设，则
两式相减得，由题可知，
则，所以线段的中点在直线上，则线段被直线平分．四边形的面积，
由（i）可知直线的方程为．
设点到直线的距离为，则，
又，所以，
设过点且与直线平行的直线的方程为，
则当与相切时，取得最大值，
由可得，
令，解得，
故的最大值为直线和直线（或）的距离，即为，
所以，
即四边形的面积的最大值为．
19. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.

（1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.
（2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.
（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；
（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.
解：（1）因为球面三角形的三条边长均为，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.
取的中点，连接，则，且，
则为二面角的平面角.
由余弦定理可得.
所以此球面三角形一个内角的余弦值为.
（2）因为平面，所以.
设，则，所以.
由勾股定理的逆定理可得，又，
所以平面，又平面，所以，
因为直线与平面所成的角为，所以.
易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.
以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（i）由题可知，
则.
设与都垂直的向量为，
则令，则，
所以线段长度的最小值为.
（ii）设，由题可知，
则.
设平面的一个法向量为，
则取，可得.
设平面的一个法向量为，
则取，可得.
设平面与平面的夹角为.
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，
故.0
1
2
3