河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
命题人： 审题人：
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.
【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是；
故选：A.
2. 已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出圆的方程，令，得，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出，得到圆的方程.
【详解】由题意，可设圆的方程为，
令，得，
设，则，，
，
解得，
∴圆的方程是，即.
故选：C
3. 已知等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解.
【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有，
而对于等比数列而言，，
从而
.
故选：C.
4. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】利用插空法和分步计数原理求解.
【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有，
再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，
所以共有种排法.
故选：D
5. 已知抛物线上一点到焦点距离为，则的中点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标.
【详解】由已知抛物线，
则焦点，准线，
又点到焦点的距离为，
结合抛物线定义可知，
点到准线的距离，
则，
所以中点横坐标，
即中点到轴的距离为，
故选：A.
6. 在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取线段中点，得出异面直线与所成角为，结合解三角形知识即可求解.
【详解】
取线段中点，因为点为中点，所以，
所以异面直线与所成角为，
不妨设正四棱锥的所有棱长均为2，
则，，
所以.
故选：D.
7. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，构造函数，求导可得其单调性，可得，再令，求导可得其最小值.
【详解】，即，
构造函数
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
因为，所以，此时，
令，令，解得，
所以当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以的最小值为，
综上的最小值为.
故选：B.
8. 已知四点，，，，四边形有内切圆，则点的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】由四边形有内切圆知，其对边和相等，即，进而得到，利用双曲线的定义可以判断点的轨迹.
【详解】由四边形有内切圆知，其对边和相等，即，又因为，，
所以，即点到两定点的距离之差为1，由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的一部分.
故选：C.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点
B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好
C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
【答案】BD
【解析】
【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用相关指数的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D.
【详解】A：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，故A错误；
B：用相关指数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确；
C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变，
故方差不变，则标准差不变，故C错误；
D：根据独立性检验可知D正确.
故选：BD
10. 设函数，则（ ）
A. 有三个零点B. 的图象关于点中心对称
C. 是的极小值点D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】结合函数的零点、对称中心、极值点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由，解得或，
所以有两个零点，所以A选项错误.
，
所以的图象关于点中心对称，B选项正确.
，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以是的极小值点，C选项正确.
当时，，
所以，所以D选项错误.
故选：BC
11. 已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D. 若数列满足，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式和柯西不等式推导出，从而得到A正确，B错误；构造函数得到在上恒成立，结合等比数列求和公式证明出C正确；D选项，化简得到，再用裂项相消法求和，证明出结论.
【详解】A选项，，故，
由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立，
故，A正确；
B选项，由柯西不等式得
，
当且仅当时，等号成立，
故，
，故，当且仅当时，等号成立，
故，
依次类推，可得，当且仅当等号成立，
故
，B错误；
C选项，设，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，故在上恒成立，
，C正确；
D选项，，
，
故，D正确
故选：ACD
【点睛】常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先说明数列的公比不为，由条件结合等比数列求和公式证明，再结合求和公式求结论.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，矛盾，故．
由题意，得，即，，
所以．
故答案为：
13. 已知x，y之间的一组数据：
若y与x满足回归方程，则b的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定的数表，求出的平均数即可.
【详解】依题意，的平均数为，
的平均数为，
所以此曲线必过点，代入方程得，
解得.
故答案为：.
14. 设椭圆长轴的端点分别为，点为椭圆上异于的一点，若在中满足，则椭圆的离心率为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据以及两角和的正切公式，可得，这可看成是直线斜率相乘为 ，然后根据两点间斜率公式以及椭圆方程，即可求解.
【详解】由可得

所以
设，
所以
故
故答案为：
四、解答题（5小题，共77分）
15. 某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放，统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下：
（1）已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入
（2）为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？
参考数据：．
参考公式：最小二乘法估计，．
，其中．
【答案】（1），预测年月份该公司销售金额约为万元
（2）列联表见解析，可以认为购买产品与观看广告有关联
【解析】
【分析】（1）计算出，，，即可求出，，从而求出回归直线方程，再令计算可得；
（2）完善列联表，计算出卡方，即可判断.
【小问1详解】
因为，，
，又，
所以，，
所以经验回归方程为，当时，（万元），
所以预测年月份该公司销售金额约为万元；
【小问2详解】
补全列联表如下：
零假设：购买产品与观看广告无关，
根据以上数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，
认为购买产品与观看广告有关联，此推断犯错误的概率不大于.
16. 已知函数.
（1）求的最值；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）最小值为，无最大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案；
（2）设切点为，根据导数的几何意义得出斜率.根据已知结合斜率的公式即可得出.联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，的定义域为，
且.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
所以，的最小值为，无最大值.
【小问2详解】
设切点为，则
根据导数的几何意义可知，
曲线在处的斜率，
则，
所以，，
整理可得，.
设，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以存唯一解.
所以，的解为，切点，
此时斜率为，
切线方程为，整理可得，切线方程为.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面.

（1）求证：点是棱的中点；
（2）若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，利用线面平行的性质定理可得答案；
（2）利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角，求出，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】

连接交于点，连接，
因为为矩形，所以点是是中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，因为点是是中点，
所以点是棱的中点；
【小问2详解】
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为为矩形，所以，
因为，平面，
所以平面，所以就是与平面所成的角，
可得，，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
设是平面的一个法向量，
可得，所以，
令，可得，所以，
设是平面的一个法向量，
可得，所以，
令，可得，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.

18. 已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）证明：；
（2）若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据抛物线的焦半径公式，求出抛物线的方程，分两种情况讨论，当直线轴时和直线与轴不垂直时，分别求出，即可证明；
（2）结合（1）设的坐标为，根据的坐标写出直线的方程，整理后代入，即可得出直线恒过点，结合点在圆内即可证明．
【小问1详解】
证明：因为点到抛物线焦点的距离为，
所以，解得或，
又因为，
所以，故抛物线方程为，
当直线轴时，可得，
此时，所以；
当直线与轴不垂直时，设的方程为，设，
代入得，
则，，
所以，
所以，
综上，．
【小问2详解】
证明：由于关于轴对称，结合（1），故的坐标为，
所以直线的方程为，即，
由（1）得，所以，
可得直线恒过点，
因为圆的方程，且，
所以点圆内部，
所以直线恒与圆相交．
19. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．
（1）若，且为“2数列”，求．
（2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式．
（3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2），
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可；
（2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可；
（3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可.
【小问1详解】
由，且为“2数列”，得，即，
则，
，
，
．
【小问2详解】
设数列的公比为，
由，得，
即，
则．
两式相减得，
即．
因为是首项为2的“数列”，所以，
即，
所以，
即对任意的恒成立．
因为，，
则，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
检验可知符合要求，故数列的通项公式为．
【小问3详解】
因为为“数列”，所以，
即对任意的恒成立，
因为，，所以．
再结合，，，反复利用，
可得对任意的，．
设函数，则．
由，得．
当时，，所以在上单调递减．
所以当时，，即．
又，所以．
可得，，，，
累加可得，
即，即，
所以．
【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键.x
1
4
9
16
y
5.5
4
3.5
3
月份
1
2
3
4
5
销售收入/万元
380
460
580
670
860
观看广告
未观看广告
总计
购买
30
45
未购买
10
总计
0.10
0.05
0.001
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
观看广告
未观看广告
总计
购买
30
15
45
未购买
5
10
15
总计
35
25
60