甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2025届高三仿真模拟考试(二)数学试题（解析版）

这是一份甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2025届高三仿真模拟考试(二)数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 大气压强， 设，，且，则，6％等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案．
【详解】因为，
所以，
则，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式得到，由补集和并集运算法则，结合子集的概念得到答案.
【详解】A选项，，
故，则不是的子集，A错误；
B选项，或，故不是的子集，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：C
3. 已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.
【详解】由，，得，
由，得，解得，则，
则，，，
因此，而，
所以.
故选：D
4. 比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布.
A. 82B. 78C. 74D. 70
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布，再利用正态密度曲线的轴对称性和百分位数的定义进行求解即可.
【详解】根据题意得标准差为，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布，
又因为，且，所以全体学生成绩的第84百分位数约为.
故选：B.
5. 大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到，，两式相比得到，又由和，得到，从而得到，即可求解.
详解】由题知①，②，
①②两式相比得到，
所以③，
当时，由④，②④得到，
所以⑤，
由⑤④，得到，
解得.
故选：C.
6. 在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体外接球半径，即可得结论．
【详解】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，
以四个小球球心为顶点的四面体棱长为，
该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为，则，解得，
可得，所以.
故选：C.
7. 设，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将正切化为正弦和余弦，进而逆运用两角差的正弦公式即可得到其关系.
【详解】因为，
所以
所以，
所以
因为
所以，
，
故选：B
8. 已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A. B. C. 为奇函数D. 为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设，则，一一对选项进行计算、验证即得.
【详解】方法一 :（函数性质判断法）由为偶函数，得①．
由为奇函数，得．
又，则②．
则由①，（*），
由②，，
故得． 把取成，得③，
于是，，即函数的周期为2，故B错误；
又因为上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误；
由③得，，即，
故．因为奇函数，故为奇函数，故C正确；
由（*），，得，即偶函数，
又，所以为偶函数，故D错误.
方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数，
由为奇函数，且函数定义域均为，
对于A，，排除A；
对于B，显然的最小正周期是2，排除B；
对于C，是奇函数，故C正确；
对于D，，显然是偶函数，排除D.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A. 2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元
B. 居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％
C. 城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D. 医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据消费支出构成图及已知条件分析数据一一判定选项即可.
【详解】2023年第一季度全市居民人均消费支出为（元），故A正确；
易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为（元），
占总人均消费支出的，故B正确：
依题意可得2022年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
2023年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
由于，故C错误；
医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的，故D正确．
故选：ABD．
10. 已知平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线．则（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线与轴交点为和
C. 面积的最大值为6
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求得所满足的方程并进行化简，A：以代，根据方程是否变化进行判断；B：令，求解出的值，则与轴的交点坐标可知；C：将方程看成关于的一元二次方程，根据求解出的取值范围，则面积的最大值可求；D：变形方程得到，由此求解出的范围，则的范围可求，故的取值范围可知.
【详解】设，因为，所以，
化简可得，即；
对于A：以代，则，即，
方程未变化，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于B：令，则，解得，
所以曲线与轴交点为和，故B错误；
对于C：将化为，
因为方程一定有解，所以，
解得，即，所以，故C正确；
对于D：因为，解得，
所以，所以，
所以，所以，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：曲线的方程为，①如果，则曲线关于轴对称；②如果，则曲线关于轴对称；③如果，则曲线关于原点对称.
11. 已知函数，则（）
A. 在上单调递增B. 是函数的极大值点
C. 既无最大值，也无最小值D. 当时，有三个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】先将用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可.
【详解】由题意得，
所以，
对于A，当时，，
所以在上单调递减，故A错误;
对于B，当时，，当时，，当时，,
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，故B正确;
对于C，当时，，当时，,
又,
的大致图象如图所示，
的值域为,
所以有最小值，无最大值，故C错误;
对于D，当时，在上单调递增,
因为,
所以,
所以在上有一个零点;
当时，在上单调递增，在上单调递减,
又，当时，.
结合的大致图象（如上图），
在有一个零点，在上有一个零点，
综上，当时，有三个零点，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数满足，则这样的函数有______个．
【答案】10
【解析】
【分析】根据函数的定义，分情况进行讨论.
【详解】令，则．
对以下三种情况都满足条件，
；；，共3种．
同理对，有3种情况；，也有3种情况．
又，，显然满足条件．
所以满足已知条件的函数共有个．
故答案为：10
13. 已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线右支上的点满足，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线定义和两点间距离公式可求得；由在双曲线上可求得，由此可求得双曲线离心率.
【详解】由题意知：，，，
，，，
，解得：；
将代入双曲线方程得：，，，
双曲线离心率.
故答案为：.
14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可.
【详解】设曲线与的切点分别为，，
因为，，则两切线斜率，，
所以，，
所以，所以，
即，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
即，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解；
（2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，则，可得，
又因为，则，可得，所以.
【小问2详解】
因为为的平分线，则，
因为，则，
即，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或（舍去），
所以的面积.
16. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，.
（1）证明： ;
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为，因此只需证明平面，只需证明（由题可证），，由勾股定理易证.
（2）建立空间直角坐标系，先由直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求出，再证明平面，由此得点M到平面 的距离等价于点到平面 的距离，再由点到平面的距离公式求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，所以,
因为为直四棱柱，
所以,
因为，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以
【小问2详解】
由（1）及题意知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
因为，.设，
所以
所以,
设平面的一个法向量为
则，
令，则，所以
设直线 与平面 所成的角为，
则，
解得，所以
所以点到平面 的距离为
因为，所以
因为不在平面，所以平面，
因为M在线段上，所以点M到平面 的距离等价于点到平面 的距离，为
故点M到平面 的距离.
17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解；
（2）解法一：设，利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点的纵坐标之比，利用韦达定理可求出的纵坐标之比的取值范围，从而可求解；
解法二：设，将面积之比表示为点A,B的纵坐标之比，利用韦达定理可求出A,B的纵坐标之比的取值范围，即可求解.
【小问1详解】
因，所以，
因为点在椭圆上，所以.
即，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】

解法一：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，
设，则，
，
由得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，
令且，
则，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
解法二：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，
所以，
设，则，
，
令且，
则代入可得，
消去得：，
因为，所以，
所以，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得；
（2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围；
（3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为，
当时，时，时，；
当时，时，；
当时，时，；时；
当时，时；时；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
【小问2详解】
令得，
设，则，
当时，在上递减；当时，在上递增，
则.
又因时，时，作出函数的图象，
由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，
即，故的取值范围是.
【小问3详解】
由得，
因，即得，（*），
易得时，不等式成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；
当时，设，
则方程有两根，，可得
当时，，则，在上单调递减；
又，所以当时，，不满足条件，
综上，的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.
对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.
19. 定义：已知数列为有穷数列，①对任意（），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意（），总存在 ，使得，则称数列为“除法封闭数列”，
（1）若，判断数列是否为“乘法封闭数列”.
（2）已知递增数列，为“除法封闭数列"，求和 .
（3）已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.
【答案】（1）不是 （2）
（3）是；说明过程见解析
【解析】
【分析】（1）举例说明两项之积不是数列中的项即可；
（2）由递增数列得不等关系，再利用不等式性质重新排序，由此将两类排序数列中的项对应相等，建立方程组求解可得；
（3）由特殊到一般，找到规律，同（2）方法分别以项与项的大小关系入手，排序可得两个系列的等量关系，借助中间量可得比例关系，由此得证.
【小问1详解】
由题意知，数列为：.
由，不是数列中的项，
故数列不是“乘法封闭数列”；
【小问2详解】
由题意数列递增可知，则，且，
又数列为“除法封闭数列”，则都是数列中项，
所以，即①；
且，即②，
联立①②解得，；
【小问3详解】
数列是等比数列.
证明：当时，设数列为，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”，
则这个数都是数列中的项，
所以有，
则有，③；
同理由，可得，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列.
当时，由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列.
【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“封闭”条件的使用，即“任意两项之积（商）仍是数列的项”这一条件是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题，如题目中根据递增数列与不等式性质对数列中的项重新排序，一个递增数列的两种排序形式必为同一排序，故对应项相等，从而挖掘出新数列的项的关系.