甘肃省甘南藏族自治州卓尼县卓尼县柳林中学2025届高三高考模拟信息卷（一） 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省甘南藏族自治州卓尼县卓尼县柳林中学2025届高三高考模拟信息卷（一） 数学试题（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若双曲线义的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．4D．16
3．已知函数，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．8
4．函数的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
5．已知椭圆的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．从1，2，3，…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（ ）
A．1650B．1617C．1122D．528
8．已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数z满足，则（ ）
A．B．在复平面内z对应的点在曲线上
C．D．的虚部为2
10．在正四棱柱中，，E为的中点，则（ ）
A．平面ABE
B．平面ACE
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．直线与平面ABE所成的角为
11．已知圆，直线，点P在圆C上，O为坐标原点，直线OP与l相交于点N，直线OP上的动点M满足，动点M的轨迹记为曲线，设为曲线上一点，则（ ）
A．曲线与l有两个交点B．的最小值为
C．曲线关于x轴对称D．当Q在第二象限时，则的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．已知函数，若与曲线相切，则实数 ．
14．已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表：
(1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
(2)用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望．
附：，.
16．如图，已知A，B，C是圆锥PO的底面圆周上的三点，且与均为边长为的等边三角形．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求圆锥PO的侧面积；
(3)求二面角的余弦值．
17．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求a的值；
(3)若角A的平分线交于点D，且，求的值．
18．已知抛物线，过点的直线l与C交于P，Q两点，设O为坐标原点，当轴时，的周长为．
(1)求C的方程；
(2)若点M为抛物线C上异于原点O的一点，且直线OM与直线l的交点D在直线上．
（ⅰ）证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l；
（ⅱ）求面积的取值范围．
19．已知定义在I上的连续函数的导函数为，对同时满足下列条件的数列称为“相关数列”：
①；②．
(1)若，数列是“相关数列”，且，求数列的通项公式；
(2)若，数列是“相关数列”，证明：是递减数列；
(3)若，数列是“相关数列”，且，记数列的前n项和为，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，得，
由，得，
所以集合，
所以．
故选B.
2．【答案】D
【详解】的渐近线方程为，
又一条渐近线方程为，所以，所以．
故选D．
3．【答案】D
【详解】由，得，
整理，可得，
解得，或.
因为，所以，则，所以．
故选D．
4．【答案】B
【详解】由题知函数的最小正周期为．
当时，，
又，所以，
当时，，
又，所以，
所以函数的最小值为．
故选B.
5．【答案】C
【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意可知，
因为，则，
两边平方得，则，整理可得，
所以椭圆C的离心率为．
故选C．
6．【答案】A
【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示），
则，
因为，
则点D在线段（不含端点）上，
设，则，
所以，
所以当时，取得最小值，
当时，，
故的取值范围为.
故选A．
7．【答案】A
【详解】将1，2，3，…，100中的数按被3除余数多少分为3类：
被3除余的数组成集合，则中各有33个数，中有34个数，
从中任取两个数，其和可以被3整除，共有种取法：
从中取1个数，再从中取1个数，两者的和也可被3整除，有种，
故符合条件的取法种数为种．
故选A．
8．【答案】C
【详解】令时，因为，
所以.
令，
则，所以.
令，则，
所以，则，所以4为的一个周期.
又，
所以由周期性可知，即．
当i为偶数时，为偶数，所以；
当i为奇数时，设，
则
，
故被4除的余数为1，所以，
所以．
故选C．
9．【答案】ACD
【详解】对于A，设，
由，得，
所以，即，解得
所以，故A正确；
对于B，在复平面内z对应的点为，当时，，
所以点不在曲线上，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以的虚部为2，故D正确．
故选ACD．
10．【答案】BC
【详解】如图所示：

对于A，连接，BD，易证四边形为矩形，因为，所以，所以，又，因为，所以与BE不垂直，故A错误；
对于B，设，连接OE，因为E为的中点，O为BD的中点，所以，又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，故B正确；
对于C，三棱锥的外接球也是四棱锥的外接球，取BE的中点M，易证均为直角三角形，线段BE为三者的公共斜边，所以，故M为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；
对于D，易知，所以直线与平面ABE所成的角等于直线AC与平面ABE所成的角，分别取的中点F，G，连接EF，BF，CG，，易证平面ABFE，连接AH，所以为直线AC与平面ABE所成的角．在中，，所以，所以，故D错误．
故选BC．
11．【答案】BCD
【详解】由题意知直线OP的斜率存在，设直线OP的方程为，则，
设，由题意知，则，
所以，
设，则，由得，则
又，所以，
所以曲线的方程为，所以，
因为，所以，
当时，方程无解，所以曲线与l没有交点，故A错误；
由上可知，所以，
因为，所以，解得，所以的最小值为，故B正确；
在曲线的方程中将y换为，化简后与原方程相同，
所以曲线关于x轴对称，故C正确；
设，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，
，
所以，则的最大值为，故D正确．
故选BCD．
12．【答案】/
【详解】由，得，解得，
所以．
13．【答案】
【详解】设切点为，又，则，
所以切线方程为，即，
所以，解得.
14．【答案】84
【详解】设这9名学生成绩从低到高依次为，即，
则9名学生成绩的中位数为，设的平均值为m，方差为S，的平均值为n，方差为T，
依题意，，则，
因此，
当且仅当时取等号，即，整理得，
解得，即当，且时，，
此时n，也就是的最大值为84，则当时，9名学生成绩的中位数的最大值为84.
15．【答案】(1)列联表见解析，无差异
(2)证明见解析，
【详解】（1）列联表为：
零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，
根据列联表中的数据，计算得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立，
故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异．
（2）从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为，
所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，
则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为，
X的可能取值为、、、、，且，
，，
，，
，
所以的分布列为：
（或）．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为为等边三角形，O为的外心，所以O为的中心，
延长AO与BC交于点D，则，
连接PD，因为，所以，
因为，AD，平面PAD，所以平面PAD，
又平面PBC，所以平面平面PAD，即平面平面PBC．
（2）设底面圆的半径为r，由正弦定理，得，
所以，
所以圆锥PO的侧面积为．
（3）在中，，所以，
以O为坐标原点，以平行于BC的直线为x轴，以OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．
则，所以．
设平面ABP的一个法向量，则令，得，
所以
由（1）可知，平面PAO，则x轴垂直平面PAO，取平面PAO的一个法向量，
所以，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
17．【答案】(1)
(2)
(3)2
【详解】（1）由正弦定理及，得，
因为，所以，所以，
所以由余弦定理，得．
（2）由，所以，
由的面积为，得，所以．
又，所以，
故．
（3）因为，所以，
又，所以，所以，
由，得，
所以，
所以．
18．【答案】(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）因为轴，所以直线l的方程为，
联立方程得，解得或
故点P，Q的坐标分别为，
所以，
因为的周长为，所以，解得，
故C的方程为；
（2）（ⅰ）证明：由题意知直线l不与坐标轴垂直，故设直线l的方程为，
所以l与直线的交点D的坐标为，
所以OD的方程为，
由消去y并化简，得，易得其两根分别为，
设，则，即．
易知过点M与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，设其方程为，
与联立消去x并整理，得，
，
整理得，即，所以，
即过点M与抛物线C相切的直线的斜率为，
又直线l的斜率也为，且l过C的内部一点，
所以过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l；

（ii），由（i）得消去x，得，
设，则，且，
所以
，
由（i）得，，则M到直线PQ的距离，
所以的面积，
因为幂函数在上单调递增，且，
所以，
故面积的取值范围为．
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得的定义域为，且，
由数列是“相关数列”，得，且，
所以，所以，
又，所以是首项为1，公比为的等比数列，故，
即数列的通项公式为．
（2）证明：因为，所以的定义域为，且，
因为数列是“相关数列”，所以，则，
当时，易证，所以，
因为，所以，所以，同理可得．
要证是递减数列，需证，即证，只需证，
即证．
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，
又，所以，
故是递减数列．
（3）证明：当时，，
故当时，成立．
当时，只需证，
设为数列的前项和，
则，
所以需证，即证．
因为，所以的定义域为，且，
设，则，
，
由是“相关数列”，得，
又，所以，
因为，令，
则，易证，
所以，即在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，所以，
所以只需证．
令，
则，
设，
则（为的导函数），
又，所以在上单调递增，
即在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，则在上单调递减，
所以，即在上单调递增，
所以，即，
所以，故．
综上可知，．满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计