广东省广州市中山大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省广州市中山大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图是的圆周角，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
7．如图，圆锥底面半径为，母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则的值为该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 （ ）
A．3B．6C．D．
8．如图，在四边形ABCD中，于点，如果四边形ABCD的面积为8，那么BE的长为（ ）
A．2B．C．3D．
9．已知三角形的每条边长都是方程的根，则该三角形的周长不可能是为（ ）
A．6B．9C．12D．15
10．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知点与点关于原点对称，则的值为______.
12．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______.
13．某楼盘2021年房价为每平方米28000元，经过两年连续降价后，2023年房价为22680元．则该楼盘这两年房价平均降低率为______.
14．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______.
15．如图，在的正方形网格图中有，则的余弦值为______.
16．在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值为______.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解下列方程：
18．（4分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）把绕着点C逆时针旋转，画出旋转后对应的；
（2）旋转到时线段AC扫过的面积为______.
19．（6分）如图，直线分别交轴，轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集．
20．（6分）己知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
21．（8分）如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，求路灯的高度．
22．（10分）如图，在中，是边AC上的一点，连接BD，使，是BC上的一点，以BE为直径的经过点．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和）
23．（10分）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程．某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园ABCD（靠墙的一边BC不需用篱笆），墙长为16米.
（1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边BC的长；
（2）求矩形养殖园ABCD面积的最大值.
24.（12分）已知抛物线（是常数）与x轴交于A，B两点在的左侧），顶点为．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若点是点关于轴对称的点，判断以点A、C、B、E为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；
（3）在（1）的条件下，将二次函数向左平移个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为1，求的值．
25．（12分）如图，是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC.
（1）如图1，若，求之的度数；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值．
参考答案
一、选择题：
二、填空题
11.312.a＞113.10%（填0.1也可以）
14. x＜﹣1或x＞515.16. 10
三、解答题
17.
18. （1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）
∴S==2π．
19. （1）解：∵直线分别交轴，轴于两点
∴，则
∴
∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点.
∴把和代入
得
解得
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
结合图象，的解集为
20. 解：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．
又，
∴k=3．
21. 由题MC=FD=DE=1.5m，CD=1m，
∵MC∥AB，
∴△DMC∽△DAB，
，
∵△EFD∽△EAB，
，
∵MC=FD，
∴，
即，
解得：BC=2m，
将BC=2m代入，即，
解得：AB=4.5，
答：路灯A的高度AB为4.5m．
22.解：（1）证明：
∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
而∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴，
∴S阴影=S△COD-S扇形DOE，
．
23．（1）解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米.
∴设养殖园的边的长为，
则，
那么
解得
∵墙长为16米.
∴
∴养殖园的边的长为米；
（2）解：设矩形养殖园面积为，
∴
∵
∴开口向下，在时，有最大值，且为平方米．
24.解：（1）当时，抛物线为，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）四边形是正方形，理由如下：
在中，令，
则，
解得，，
∴，，
∵，
∴抛物线顶点，
∵点E与点C关于x轴对称，
∴，
∴；
，
，
，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，，，
∴，
，
∴，
∴菱形是正方形；
（3）将抛物线向向左平移个单位，得到一条新抛物线，为，
令，则，
解得或，
∴新抛物线与x轴两个交点坐标为，，它们之间的距离为，
在中，令，则，
∴新抛物线与y轴的交点的坐标为，
∵抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为1，
∴，
即或，
解得或或．
25.（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
，
．
（2）证明：将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，．
，，
，
，即，
，
又，，
．
，
，，，
与都是等腰直角三角形，
，
又，
．
（3）解：由（2）得，
以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大．
，，
，
，即．
，
．
的面积为，
即面积的最大值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
B
D
B
D
B
A