广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年下学期九年级 数学开学考试试卷（含解析）

这是一份广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年下学期九年级 数学开学考试试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，四象限．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 实数的倒数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，如果两个数的乘积为1，那么这两个数叫做互为倒数．根据倒数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，与互为倒数，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选： B．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率事件的定义理解逐一判断即可．
【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确
B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误
C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误
D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误
故答案选A
【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键．
3. 下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断各项即可．
【详解】A. 是轴对称图形，符合题意；
B. 不是轴对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
5. 如图，是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征，判断从左面看到的图形即可得到左视图．
【详解】解：由题意得，几何体的左视图是
．
故选：C．
6. 若点在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得出反比例函数图象在第一、三象限，得到在每个象限内随的增大而减小，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∴在每个象限内随的增大而减小，
∵在反比例函数图象上，且，，
∴，
故选：D ．
7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向及对称轴的位置可得ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、二、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
对于一次函数y＝cx-，c＜0，，故此函数图象经过第一、二、四象限；
对于反比例函数y＝，ab＜0，图象分布在第二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出各系数的取值范围是解题的关键．
8. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间，快车从乙地到甲地与慢车相遇即可 ．
【详解】解：设慢车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系为y=kt过（6，），
代入得,解得，
∴慢车解析式为：，
设快车从甲地到乙地的解析式，
过（2，0），（4，）两点，代入解析式的，
解得，
快车从甲地到乙地的解析式，
设快车从乙地到甲地的解析式，
过（4，），（6，0）两点，代入解析式的，
解得，
快车从乙地到甲地的解析式，
快车从甲地到乙地与慢车相遇，
解得，
快车从乙地到甲地与慢车相遇，
解得，
两车先后两次相遇的间隔时间是-3=h．
故选择B．
【点睛】本题考查行程问题函数应用题，用待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为两函数组成方程组，解方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为转化为两函数组成方程组，解方程组是解题关键．
9. 如图，有一块矩形木板，，工人师傅在该木板上锯下一块宽为的矩形木板，并将其拼接在剩下的矩形木板的正下方，形成轴对称图形，其中，分别与M，B，C，N对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，测x的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，设与相切于点，交于，连接，延长交于，设的半径为，在中，当点与重合时的面积最大，此时，利用勾股定理求出半径，再构建不等式，求出x的取值范围进而求解．
【详解】解：如图，设与相切于点，交于，连接，延长交于，设的半径为，
在中，当点与重合时的面积最大，此时，
则有，
，
的最大面积为，
由题意得：，
，
故答案为：B．
10. 如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ）
A. B. B． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值．
【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
如图所示：
当点正好落在边上时，
，
是等边三角形，
，
最短，
此时；
当点落边上时，最长，
过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点．
四边形是矩形，
在菱形中，，，
点在边上，且，
，，，，
，
，
，，，
在中，，，
，
，
，
设，则，，
在中，
由勾股定理可知，，
即，
解得，
，
故答案为：A．
【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键．
二、填空画（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12. 某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级5个班收集到的艺术作品数量（单位:件）分别为48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中位数的概念和计算方法，中位数是将一组数据按从大到小（从小到大）顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，位于中间位置的数是中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均数．
将数据按从小到大顺序排列，中间的数就是中位数．
【详解】解：∵数据按从小到大顺序排列为，
∴中位数是，
故答案为： ．
13. 把多项式分解因式的结果是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提取公因式法，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，乘法公式是解题的关键．
14. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点． 当，，时，的长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，勾股定理，根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求．
【详解】解：∵在菱形中，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 抛物线（a，b，c是常数）的顶点在第一象限，且．下列结论∶①；②；③；④若，则．其中结论正确的是_________ （填序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等难度题型．
由可知抛物线经过，由顶点在第一象限可得，，即开口方向向下，，，即可判断①；由，，可判断②；由，，可判断③；由抛物线的对称性可判断④，进而可得正确答案．
【详解】解：抛物线的顶点在第一象限，且，
，，，
，
①正确；
，
，
，
，
，
②正确；
，
，
，
，
，
③不正确；
，
抛物线经过，关于直线的对称点为，
若，则，
时，，
④正确；
故答案为：①②④．
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．点D是抛物线顶点，连接，，作轴于点H，把沿着射线方向平移，点D在射线上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】把点和点代入抛物线，求出表达式，由题意得： ，，，，利用勾股定理求得斜边，利用点的坐标的特征求得①当平移后的三角形的顶点恰好在抛物线上时，和②当平移后的三角形的边与抛物线只有一个公共点时，求出m的两个临界值，结合图象即可得出结论．
【详解】解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点；
，
由题意得，，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
①当平移后的三角形顶点恰好在抛物线上时，如图：
设平移后的，，的对应顶点为，，，
延长交轴于点，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
解得：或（负数不合题意，舍去），
②当平移后的三角形的边与抛物线只有一个公共点时，如图：
设平移后的，，的对应顶点为，，，
延长交轴于点，则，
同①可证明，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
沿着轴方向平移了个单位，
，
，
，
如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，相似三角形的性质和判定，图形平移的性质，勾股定理，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题．共72分）
17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【答案】；整数解为
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为．
18. 如图，过平行四边形的对角线与的交点O的直线分别交边，于点P，Q

（1）过点O作直线垂线，分别交边，于点M，N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）顺次连接点P，M，Q，N．求证：四边形是菱形
【答案】（1）图见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作线段的垂直平分线即可作出图形；
（2）证明和得到，，可证明四边形是平行四边形，再由可证明四边形是菱形．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、作垂线等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、证明三角形全等是解答的关键．
19. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．

（1）补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“不合格人数”的度数为_______．
（3）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，求刚好抽中甲乙两人的概率．
【答案】（1）见详解；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图；读懂统计图中的信息，画出树状图或表格是解题的关键．
（1）先由优秀人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（2）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次抽查的总人数为：（人），
不合格的人数为：（人），
补全图形如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明：，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．
（1）_________，_________；
（2）连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）4，2 （2）点的坐标为、
【解析】
【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；
对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．
【小问1详解】
将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得
，
解得，
一次函数的关系式为；
将点A（1，4）代入反比例函数，得
，
反比例函数的关系式为．
故答案为：4，2；
【小问2详解】
点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．
当x=0时，y=2，
∴点B（0，2），
∴OB=2．
根据勾股定理可知．
当点落在轴的正半轴上，则，
∴与不可能相似．
当点落在轴的负半轴上，
若，
则.
∵，
∴，
∴；
若，则．
∵，，
∴，
∴．
综上所述：点的坐标为、．
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等．
22. 如图，为直径，，为上的两点，且，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据等腰三角形的性质和已知可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，最后利用平行线的性质即可解答；
（2）连接，根据切线的性质、圆周角定理推出，，根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
【小问2详解】
解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
23. 某工厂生产并销售，两种型号车床共台，生产并销售台型车床可以获利万元；如果生产并销售不超过台型车床，则每台型车床可以获利万元，如果超出台型车床，则每超出台，每台型车床获利将均减少万元．设生产并销售型车床台．
（1）当时，若生产并销售型车床比生产并销售型车床获得的利润多万元，问：生产并销售型车床多少台？
（2）当时，设生产并销售，两种型号车床获得的总利润为万元，如何分配生产并销售，两种车床的数量，使获得的总利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）生产并销售型车床台
（2）当生产并销售，两种车床各为台、台或台、台时，使获得的总利润最大；最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）当时，总利润，当时，总利润，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得方程
，
解得 舍去，
答：生产并销售型车床台；
【小问2详解】
当时，总利润，
整理得，，
，
当时总利润最大为万元；
当时，总利润
，
整理得，
，
当时总利润最大，
又由题意只能取整数，
当或时，
当时，总利润最大为万元
又，
当或时，总利润最大为万元，
而，
，
答：当生产并销售，两种车床各为台、台或台、台时，使获得的总利润最大；最大利润为万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键．
24. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到．
（1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）不发生变化，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
当时，，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
不发生变化，理由如下：
当时，，
则，
，，
由勾股定理可得：，
，
，
，，
，
由旋转得：，
即，
，
，
，
；
【小问3详解】
，，
，，
由勾股定理可得：，，
绕点顺时针旋转至，，三点共线，
，，
，
，
当旋转至直线上方时，如图，
则；
当旋转至直线下方时，如图，
则；
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
（1）直接写出b，c的值；
（2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值；
（3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
【答案】（1）
（2）
（3）①②故当时，点有1个；当时，点有2个；当时，点有3个
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，得，根据，表示出点的横坐标即可；
（3）①先根据待定系数法求出直线解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论．
【小问1详解】
解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，
抛物线的解析式为，
故；
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
， ，
，
，
，
，
，
，点的横坐标为，
直线解析式为，点在直线上，
，且点P在直线l的右侧时，即，
；
【小问3详解】
解：①抛物线解析式为，
时，，即，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
故直线的解析式为，
时，，即，
当时，点在点的左侧，，
当时，点在点的右侧，，
故；
②绘制的函数图象如图所示：
点，，
故当时，的值只有1个，故点只有1个；
当时，的值只有2个，故点只有2个；
当时，的值只有3个，故点只有3个．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，本题的关键是运用分类讨论的思想方法．