长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题及参考答案

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时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.△ABC中，已知，则边为（ ）
A.B.或C.D.
2.若，则的值为
A.B.C.D.
3.已知非零向量满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A.B.C.D.
4.若角满足，则角为（ ）
A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角
5.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么△ABC外接圆的半径为（ ）
A.2B.4C.D.8
6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ）

A.10 mB.10mC.10mD.10m
7.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A.B.C.D.
8.如图，在△ABC中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ）

A.B.5C.3D.4
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
10.已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A.的最小正周期为；
B.函数的图象关于对称；
C.在区间上单调递减；
D.将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合.
11.在△ABC中，为△ABC内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A.若为△ABC的重心，则B.若为△ABC的外心，则
C.若为△ABC的垂心，则D.若为△ABC的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则____________.
13.已知，则________.
14.对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上最大值和最小值.
16.如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的值．
17.已知，其中，.
（1）求值；
（2）求的值.
18.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
（1）求角B的值；
（2）若，求△ABC的周长的取值范围.
19.城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园，其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记.
（1）求矩形面积关于函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值.
（2）部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？