湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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时量:120 分钟分值:150 分
命题人:汤芳审题人:张鎏
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数 的图象关于点 对称，则 ( )
A. B. C. D.
3. 复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. 2 D.
4. 在边长为 的正三角形 中， 的值为
A. B. C. D.
5. 已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，三棱柱 中， 分别是 的中点，平面 将三棱柱分成体积为
（左为 ，右为 ）两部分，则 （ ）
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A. B. C. D.
7. 如图 1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反
向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，从 发
出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ，则 的
离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ， 的定义域为 ， 是 的导数，且 ，
，若 为偶函数，则 （ ）
A. 80 B. 75 C. 70 D. 65
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9. 已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离是 4，直线 过它的焦点 且与 交于
， 两点， 为弦 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线 的焦点坐标是
B.
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C 若 ，则
D. 若以 为圆心 圆与 的准线相切，则 是该圆的一条直径
10. 一个不透明的口袋中有 8 个大小相同的球，其中红球 4 个，白球 1 个，黑球 3 个，则下列选项正确的有
（ ）
A. 从该口袋中任取 3 个球，设取出的红球个数为 ，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了 3 次，设取出的黑球次数为 ，则
C. 从该口袋中任取 3 个球，设取出的球的颜色有 种，则数学期望
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为 ，则数学期望
11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数 （ 表示不超过 的最
大整数）称为高斯函数.已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，令 ，则
下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ,若 ，则 __________．
13. 2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的 6 名学生准备分成三组前往
村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村 3 个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多 3 名学
生，则不同的安排方法种数为_____.
14. 已知不等式 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围是_____
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱锥 的底面是矩形， 是等边三角形，平面 平面
分别是 的中点， 与 交于点 ．
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（1）求证： 平面 ；
（2）平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 大小．
16. 已知 ， ， ， 分别是角 ， ， 对边， 的面积 ．
（1）证明： ；
（2）若 为 的平分线，交 于点 ，且 ， ，求 的长．
17. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的
“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据
养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从
正态分布 ．
（1）购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据
如下：
人工投入增量 x（人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： ；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对人工投入增量 x 做
变换，令 ，则 ，且有 ．
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（i）根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；
（ii）根据下列表格中 数据，比较两种模型的相关指数 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测
人工投入增量为 16 人时的年收益增量．
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
附：若随机变量 ，则 ， ；
样本 的最小二乘估计公式为： ，
另，刻画回归效果的相关指数
18. 已知椭圆 ，定义椭圆 上的点 的“伴随点”为 .
（1）求椭圆 上的点 的“伴随点” 的轨迹方程;
（2）如果椭圆 上的点 的“伴随点”为 ，对于椭圆 上的任意点 及它的“伴随点” ，求
的取值范围;
（3）当 时，直线 交椭圆 于 A，B 两点，若点 A，B 的“伴随点”分别是 P，Q，
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且以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 ，求 的面积.
19. 定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ，使
成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.
已知函数
（1）当 时，求 ；
（2）是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 的极值差比系数的取值范围.
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