湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 中，已知，则边为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得，
，
所以.
故选：C.
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
∴.
故选：D．
3. 已知非零向量满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量与向量夹角为，
，
，可得，∴.
故选：B．
4. 若角满足，则角为（ ）
A. 第一或第四象限角B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角D. 第一或第三象限角
【答案】B
【解析】，所以角为第二或第三象限角.
故选：B.
5. 设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】∵，
∴，化为：.
∴，∵，∴，
∵，由正弦定理可得，
解得，即外接圆的半径为2.
故选：A.
6. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ）
A. 10 mB. 10mC. 10mD. 10m
【答案】D
【解析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10（m）.
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）.
故选：D.
7. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数的图象关于原点对称，
并且在区间上是增函数，所以，所以，
又，得，
令，得，
所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，
第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上所述，.
故选：.
8. 如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A B. 5C. 3D. 4
【答案】D
【解析】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意，，，，
设，（），
设，（），
由，则，，
，
，
解得，则，
，，
又，，
因为，所以，
的最大值为，的最小值为，
的最大值与最小值的差为：4.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】CD
【解析】对于A，，，设存在使得，即，
明显不可能，则不共线，所以可以作为一组基底，故A错误；
对于B，假设，共线，则，明显不可能，则不共线，
所以可以作为一组基底 ，故B错误；
C.因，则共线，所以不可以作为一组基底，故C正确；
D. 因，则共线，所以不可以作为一组基底，故D正确.
故选：CD.
10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 在区间上单调递减
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合
【答案】ABD
【解析】，
对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，所以的图象关于对称，故B正确；
对于C，由，则，
因为在上不是单调递减，所以在上不是单调递减，故C错误；
对于D，将函数图象向右平移个单位长度后得到，故D正确.
故选：ABD.
11. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
【答案】BCD
【解析】在中，，，为内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
对于选项A：若为的重心，则，，则，
所以，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故选项A不正确；
对于选项B：若为的外心，其必在直线上，
所以，故选项B正确；
对于选项C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故选项C正确；
对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，即选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则____________.
【答案】
【解析】将两边平方，得，得.
13. 已知，则________.
【答案】
【解析】因为，
所以.
14. 对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______.
【答案】5或
【解析】取，则存在使得，从而可得，即，
所以一定是一正一负（因为0不属于集合），不妨令，则，
所以，所以，
取，则存在使得，从而可得，
若，则矛盾，故不可能同时大于0，
若，则矛盾，故不可能同时小于0，
所以必定有一正一负，
所以有：，则，或，则，
情况一：当，时，，
从而，或（舍去，集合元素间互异），
或，即（舍去，与矛盾），
此时（这里不考虑具体与的对应关系，
因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果），
情况一：当，，，
从而，即（舍去，集合元素间互异），
或（舍去，集合元素间互异），或，即，
此时（这里不考虑具体与的对应关系，
因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果），
综上所述，或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）最小正周期为.
（2），
.
即在区间上的最大值为，最小值为.
16. 如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的值．
解：（1）在中，由，
又，所以，
所以
.
（2）因为，
又，，所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，所以有，即.
17. 已知，其中，.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）依题意，，得到，
又，所以，，
故.
（2）因为，所以，又，
所以，则，
故
.
18. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
（1）求角B的值；
（2）若，求的周长的取值范围.
解：（1）由，
可得，，即，
由余弦定理得：，
因为，所以.
（2）由，则，，，
所以均为锐角，在锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，，
则
，
因为锐角中，，
则，，解得：，
故，，
则，，
故，，
所以三角形周长的取值范围是.
19. 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园，其中位于半圆的直径上，位于半圆的圆弧上，记.
（1）求矩形面积关于的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时的值.
（2）部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆的圆弧上取两点，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域也全部进行绿化建设，其中分别在直线上，与平行，在扇形的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
解：（1）作与平行，交于，
与平行，四边形为矩形，
，
平分平分，
；
，
，
当时，矩形面积最大，最大面积为.
（2）作平行于，交于于，连接，设，延长交于，
平行于，交于于，
，平分平分，
又，由圆的性质，有，
，
，
又，得到平行于，显然四边形为矩形，
故，而，
，
，
故矩形面积为
，
当时，矩形面积的最大值为，
故新方案的绿化园面积最大值为
，
所以（2）中新方案的绿化面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大.