2023-2024学年上海市嘉定区安亭高级中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区安亭高级中学高一（下）期中数学试卷 （含解析），共12页。
1．已知向量，则 ．
2．计算： ．
3．设向量，若，则 ．
4．若，则 ．
5．已知、，则的单位向量坐标为 ．
6．若，且满足，则的最小值为 ．
7．在△中，．记，用表示 ．
8．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则 ．
9．已知向量在上的投影向量为，且，则 ．
10．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则 ．
11．已知、是圆的直径上的两点，且，、是圆上的两个动点，且，则的最大值为 ．
12．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知向量，则
A．B．2C．3D．0
14．函数是由 得到的．
A．向右平移B．向右平移C．向右平移D．向右平移
15．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是
A．B．
C．D．
16．下列定义在上的函数是奇函数的是
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分40分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若边的长为11，求的面积．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
19．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
20．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中
（1）用表示的长；
（2）若，求如图中阴影部分的面积；
（3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．
21．已知△中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设．
（1）求的长度；
（2）若，求的值；
（3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。
1．已知向量，则 ．
解：向量，
所以．
故答案为：．
2．计算： ．
解：设，则，且为锐角，
所以．
故答案为：．
3．设向量，若，则 ．
解：，
，
，
．
故答案为：．
4．若，则 ．
解：已知，
则．
故答案为：．
5．已知、，则的单位向量坐标为 ．
解：由、，
可得，
则的单位向量为．
故答案为：．
6．若，且满足，则的最小值为 ．
解：周期为，且在区间上为单调增函数，
，
故，．
且，
故的最小值为．
故答案为：．
7．在△中，．记，用表示 ．
解：
．
故答案为：．
8．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则 ．
解：始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，
则，
故．
故答案为：．
9．已知向量在上的投影向量为，且，则 1 ．
解：在上的投影向量为，得，，
，．
故答案为：1．
10．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则 12 ．
解：根据题意，摩天轮转一圈的时间为30分钟，
则甲与乙的角度相差，
设甲乙二人之间的劣弧的中点为，则当乙坐上摩天轮时，
点与摩天轮最低点之间劣弧所对的圆心角为，
所以点与摩天轮最高点之间劣弧所对的圆心角为，
经过了分钟，点到达最高点，甲乙二人离地面高度相等，所以．
故答案为：12．
11．已知、是圆的直径上的两点，且，、是圆上的两个动点，且，则的最大值为 ．
解：由题意可得，，则，
由可得：，
所以
，
当时，取得最大值为．
故答案为：．
12．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ．
解：因为函数，，
所以，
又因为在区间，上总存在唯一确定的，使得，
即在区间，上总存在唯一确定的，使得，
因为，，结合三角函数的性质，可得．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知向量，则
A．B．2C．3D．0
解：由题意可知：．
故选：．
14．函数是由 得到的．
A．向右平移B．向右平移C．向右平移D．向右平移
解：因为，
所以函数是由向右平移得到的．
故选：．
15．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是
A．B．
C．D．
解：项，，故共线，故项错误；
项，，故共线，故项错误；
项，，故共线，故项错误；
项，设，，则，
所以，无解，故不共线，故项正确．
故选：．
16．下列定义在上的函数是奇函数的是
A．B．C．D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，，所以为奇函数，故对；
对于，，其定义域为，，所以为偶函数，故错；
对于，，其定义域为，，所以为偶函数，故错；
对于，，其定义域为，，所以为偶函数，故错．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分40分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若边的长为11，求的面积．
解：，，，，，．
．
由正弦定理可得：，可得：，．
．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
解：（1），，则的最小正周期为．
（2），则，，．
所以在上的最大值为，最小值为．
19．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）
即
（2）由
即化简得
故有
又，，
或
或
20．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中
（1）用表示的长；
（2）若，求如图中阴影部分的面积；
（3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．
解：（1）连接，过作，
则，，
所以，
可得；
（2）由题意，
可得，
，
所以；
（3），
则
，
令，则，
则，当时，．
21．已知△中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设．
（1）求的长度；
（2）若，求的值；
（3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数．
解：（1）设，由，
可得，
解得，
所以
；
（2）由已知，
则，设，
则，
所以，
则有，得；
（3）由，可得，
由（1）知，
，，，
，
，
，
，
又，所以，
所以，
若为常数，则，即，
故存在，使得该常数为．
题号
13
14
15
16
答案
D
B
D
A