2023-2024学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是( )
A. y=( x)2与y=|x|B. y=x与y=elnx
C. y=22x与y=4xD. y=x与y=(1x)−1
2.已知2x=3，2y=5，则22x+y2的值( )
A. 9+ 5B. 452C. 6 5D. 9 5
3.设集合P1=xx2+ax+1>0，P2=xx2+ax+2>0，Q1=xx2+x+b>0，Q2=xx2+2x+b>0其中a,b∈R，给出下列两个命题：命题q1：对任意的a，P1是P2的子集；命题q2：对任意的b，Q1不是Q2的子集．下列说法正确的是
A. 命题q1是真命题，命题q2是假命题B. 命题q1是假命题，命题q2是真命题
C. 命题q1、q2都是真命题D. 命题q1、q2都是假命题
4.已知函数f(x)=|3x−1|，若关于的x的方程|f(x)−a|+|f(x)−a−1|=1有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是( )
A. [−1,0]B. [−13,−19)C. [0,1]D. [23,89)
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|06.将a⋅5a3化为有理数指数幂的形式为______.
7.若lg4x=12，则x=______.
8.已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=______.
9.若角θ的终边过点P(3,−4)，则tan(θ+π)=______
10.若函数y=(x+1)(x−a)为偶函数，则实数a的值为______.
11.已知x∈R，则函数y=x(4−x)的最大值为______.
12.已知b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(−2,3)，则bc=______.
13.若x>1，则y=x+9x−1的最小值为______.
14.已知y=lg4(−ax+3)在[0,1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是______.
15.已知函数y= 2x,x≤m, −23x2+83,x>m的值域为(−∞,2m],则实数m的取值范围是______.
16.已知函数f(x)=x2x2+8,x≥2(12)|x−a|,x<2，若对任意的x1∈[2,+∞),都存在唯一的x2∈(−∞,2)，满足f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设全集为R，集合A={x|2x−1x+2<1}，集合B={x||x−a|<2}.
(1)若a=2，求集合A，B，A∩B；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.
18.(本小题14分)
已知sinα=35，并且α是第二象限角.
(1)求tanα的值；
(2)求2sinα+3csαcsα−sinα的值.
19.(本小题15分)
某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益.该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：
①奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加；
②奖金不低于10万元且不超过200万元；
③奖金不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案函数模型为y=f(x)，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“f(x)≤x5恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案；
(2)已知函数y=g(x)，其中g(x)=a x−45符合公司奖励方案函数模型要求.在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？
20.(本小题17分)
已知定义在R上的奇函数y=f(x)的表达式为f(x)=1−a−1ax+1(a>0且a≠1).
(1)求实数a的值；
(2)判断函数y=f(x)的单调性(只需写出结论)；若存在t∈[0,8]，使得f(k+t2)+f(8t−2t2)>0成立，求实数k的取值范围；
(3)已知g(x)=kf(x)+3x，若函数y=g(x)有且仅有两个零点，求实数k的取值范围.
21.(本小题18分)
对于定义域为R的函数y=f(x)，定义g(x)=f(x)−f(0)x，设区间I=(−∞,0)∪(0,+∞)，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1(1)判断函数y=−4x，x∈R是否存在“T函数”，并说明理由；
(2)若非常值函数y=s(x)，x∈R是奇函数，求证：y=s(x)存在“T函数”的充要条件是存在常数k，使得s(x)=kx；
(3)若函数y=m⋅2x−2023x与函数y=−m⋅2x+x的定义域都是R，且均存在“T函数”，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，y=|x|的定义域为R，y=( x)2的定义域为[0,+∞),两函数的定义域不相同，故不是相同函数；
对于B，y=x的定义域为R，y=elnx的定义域为(0,+∞)，两函数的定义域不相同，故不是相同函数；
对于C，y=22x=4x，y=4x，两函数的定义域和解析式都相同，故是相同函数；
对于D，y=x的定义域为R，y=(1x)−1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不相同，故不是相同函数．
故选：C.
直接研究两个函数的定义域和对应法则是否一样即可求解结论．
本题主要考查两个函数是否为同一函数的判断，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：2x=3，2y=5，
则22x+y2=(2x)2⋅(2y)12=9× 5=9 5.
故选：D.
根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了对命题真假的判断，也考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
根据不等式的特征，可判断命题q1，利用判别式，可得集合Q1、Q2的关系，从而判断命题q2.
【解答】
解：由于x2+ax+2=x2+ax+1+1，
即x2+ax+1>0时，x2+ax+2>0一定成立，故P1是P2的子集，因此命题q1是真命题．
令x2+x+b=0，Δ1=1−4×1×b<0⇒b>14；
令x2+2x+b=0，Δ2=4−4×1×b<0⇒b>1.
从而可知，当b>1时，Q1=Q2=R，
此时，Q1是Q2的子集，故命题q2是假命题．
故选：A.
4.【答案】B
【解析】解：若关于的x的方程|f(x)−a|+|f(x)−a−1|=1有且仅有两个不同的整数解，
则必有f(x)≥a且f(x)≤a+1同时成立，即f(x)图象夹在y=a和y=a+1之间，
易知f(0)=0,f(−1)=23,f(1)=2,f(−2)=89，函数f(x)的图象大致如图，
结合图形可知，a≤f(x)≤a+1的整数解只有两个，
则其中一个为x=0，另一个为x=−1，所以a≤0，且23≤a+1<89，
解得a∈[−13,−19).
故选：B.
根据关于的x的方程|f(x)−a|+|f(x)−a−1|=1有且仅有两个不同的整数解，利用数形结合求解参数即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．
5.【答案】{1,2}
【解析】解：∵A={−1,0,1,2}，B={x|0∴A∩B={1,2}，
故答案为：{1,2}.
由已知直接利用交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
6.【答案】a85
【解析】解：a⋅5a3=a⋅a35=a1+35=a85，
故答案为：a85.
利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．
7.【答案】2
【解析】解：若lg4x=12，
则x=412=2.
故答案为：2.
结合指数与对数的相互转化即可求解．
本题主要考查了指数与对数的相互转化，属于基础题．
8.【答案】a+b
【解析】解：原式=lg(2×3)=lg2+lg3=a+b.
故答案为：a+b.
利用对数的运算性质把要求的式子化为lg(2×3)=lg2+lg3，再把已知条件代入求得结果．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
9.【答案】−43
【解析】解：∵角θ的终边过点P(3,−4)，
∴tanθ=−43=−43，
则tan(θ+π)=tanθ=−43，
故答案为：−43
根据三角函数的定义结合三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．
10.【答案】1
【解析】解：根据题意，设f(x)=(x+1)(x−a)，
若f(x)=(x+1)(x−a)为偶函数，则f(−x)=f(x)，即(−x+1)(−x−a)=(x+1)(x−a)，
变形可得：2(a−1)x=0，则a=1.
故答案为：1.
根据题意，设f(x)=(x+1)(x−a)，由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即(−x+1)(−x−a)=(x+1)(x−a)，变形分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
11.【答案】4
【解析】解：y=x(4−x)=−(x−2)2+4，
因为x∈R，所以当x=2时，ymax=4.
故答案为：4.
将二次函数改为顶点式，结合x∈R求出最大值即可．
本题考查了二次函数最值的求法，属基础题．
12.【答案】6
【解析】解：∵b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(−2,3)，
∴−2，3是一元二次方程x2+bx+c=0的两个解，
∴−2+3=−b−2×3=c，解得b=−1，c=−6，
∴bc=6.
故答案为：6.
由条件，可知−2，3是一元二次方程x2+bx+c=0的两个解，利用韦达定理列方程组求出b，c，再求出bc.
本题考查一元二次不等式的性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】7
【解析】解：根据题意，y=x+9x−1=(x−1)+9x−1+1，
又由x>1，则x−1>0，则有(x−1)+9x−1≥2 9=6，当且仅当x=4时等号成立，
则有y=x+9x−1≥6+1=7，
则y=x+9x−1的最小值为7；
故答案为：7.
根据题意，分析可得y=x+9x−1=(x−1)+9x−1+1，由基本不等式的性质求出(x−1)+9x−1的最小值，进而分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意x+9x−1的变形，属于基础题．
14.【答案】(0,3)
【解析】解：∵y=lg4(−ax+3)在[0,1]上是关于x的减函数，∴a>0，
∴t=3−ax为减函数．
依题意t=3−ax在[0,1]上应有t>0，
∴3−a>0.∴a<3.
故0故答案为：(0,3).
根据复合函数的单调性和对数函数的性质可知a>1，再由t=3−ax在[0,2)上应有t>0，可知3−2a>0.得a范围．
要掌握复合函数的单调性的判定方法：同增异减，是基础题．
15.【答案】[1,2)
【解析】解：令2x=−23x2+83，解得x=1，
令−23x2+83≥0，解得−2≤x≤2，
因为函数的值域为(−∞,2m],又当x≤m时，y=2x∈(0,2m],
则函数y的最大值只能在y=2x时取，所以m≥1，
且函数−23x2+83的最大值必须大于等于0，则m<2，
综上，实数m的范围为[1,2),
故答案为：[1,2).
令2x=−23x2+83，解得x=1，令−23x2+83≥0，解得−2≤x≤2，然后根据分段函数的值域分析即可求解．
本题考查了分段函数值域的有关问题的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
16.【答案】[−1,5)
【解析】解：当x∈[2,+∞)时，f(x)=x2x2+8，即f(x)=12(x+4x)，
∵x+4x≥2 x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，
∴函数f(x)在x∈[2,+∞)时，值域为(0,18],
当x∈(−∞,2)时，
①若a≥2时，则f(x)=(12)|x−a|=(12)a−x，(x∈(−∞,2))，它是增函数，
此时y=f(x)的取值范围是(0,(12)a−2)，
由题意可知(12)a−2>18，
解得a<5，
又∵a≥2，
∴2≤a<5，
②若a<2，则f(x)=(12)a−x,x而函数y=f(x)在[a,2)上是减函数，此时y=f(x)的取值范围是((12)2−a,1],
由题意可得(12)2−a≥18，
解得a≥−1，又a<2，
∴−1≤a<2，
综上所述，所求实数a的取值范围是[−1,5).
故答案为：[−1,5).
由题意可得函数f(x)在[2,+∞)时的值域包含于函数f(x)在(−∞,2)时的值域，利用基本不等式先求出函数f(x)在x∈[2,+∞)时的值域，当x∈(−∞,2)时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的值域的求法，考查了基本不等式的应用，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为2x−1x+2<1，所以2x−1x+2−x+2x+2<0，
所以x−3x+2<0，解得−2又因为a=2，所以|x−2|<2，所以0所以A∩B={x|0(2)因为|x−a|<2，所以a−2所以B={x|a−2又因为B⊆A，且a+2>a−2即B≠⌀，
所以a−2≥−2a+2≤3，所以0≤a≤1，
所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
【解析】(1)分别求解出分式不等式、绝对值不等式的解集为集合A，B，再根据交集运算求解出A∩B；
(2)先表示出集合B，然后根据B⊆A列出关于a的不等式组，由此求解出结果．
本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为α是第二象限角，sinα=35，
则csα=− 1−sin2α=−45，故tanα=sinαcsα=35×(−54)=−34.
(2)解：由题意可得tanα=−34，
故2sinα+3csαcsα−sinα=2tanα+31−tanα=2×(−34)+31−(−34)=67.
【解析】(1)由题意，利用同角三角函数的基本关系，先求出csα的值，可得tanα的值．
(2)由题意，利用同角三角函数的基本关系，把要求的式子用tanα来表示，从而求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)“奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加”可以表述为：当x∈[100,1600]时，y=f(x)是x的增函数；
“奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值y∈[10,200]；
(2)因为函数g(x)=a x−45符合公司奖励方案函数模型要求，
则函数g(x)在x∈[100,1600]上是增函数，有a>0，
g(x)min=g(100)=10a−45≥10，g(x)max=g(1600)=40a−45≤200，解得112≤a≤498，
由∀x∈[100,1600]，不等式g(x)≤x5恒成立，得a x−45≤x5⇔5a≤ x+225 x，
显然 x∈[10,40], x+225 x≥2 x⋅225 x=30，当且仅当 x=225 x，即x=225时取等号，
于是5a≤30，解得a≤6，从而112≤a≤6，
因此当112≤a≤6,x∈[100,1600]时，g(x)≤6 x−45≤6 1600−45=195，
当且仅当a=6且x=1600时取等号，且195<200，
所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金．
【解析】(1)根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答；
(2)根据给定的函数模型，求出a的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)为定义在R上的奇函数y=f(x)，
所以f(0)=1−a−12=0，得a=3，
此时f(x)=1−23x+1，经检验符合题意，
所以实数a的值为3；
(2)y=f(x)在(−∞,+∞)单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(−∞,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=1−21+3x1−1+21+3x2=2(3x1−3x2)(1+3x1)(1+3x2)，
因为x1，x2∈(−∞,+∞)，且x1所以3x1−3x2<0，3x1+1>0，3x2+1>0，
所以f(x1)由f(k+t2)+f(8t−2t2)>0，即f(k+t2)>−f(8t−2t2)，
因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(k+t2)>f(−8t+2t2)，
因为y=f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
所以k+t2>−8t+2t2，
以所存在t∈[0,8]，使得k>t2−8t成立，
因为y=t2−8t对称轴为t=4，
所以当t=4时，y=t2−8t取得最小值−16，
所以k>−16，即实数的取值范围为(−16,+∞)；
(3)令g(x)=kf(x)+3x=k(1−23x+1)+3x=0，
即(3x)2+(k+1)3x−k=0，
令t=3x，t>0，
则t2+(k+1)t−k=0在(0,+∞)有两个不相等的实根，
所以(k+1)2+4k>0−1−k>0−k>0，解得k<−3−2 2，
所以实数的取值范围为(−∞,−3−2 2).
【解析】(1)利用奇函数性质求出a=3，再检验即可；
(2)利用定义法判断函数单调性，结合奇函数的性质和函数单调性解不等式，转化为函数最值问题再求解即可；
(3)利用换元法转化为t2+(k+1)t−k=0在(0,+∞)有两个不相等的实根，结合二次函数相关知识求解即可．
本题主要考查了函数的单调性与奇欧兴的综合应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为g(x)=f(x)−f(0)x=1−4xx，
当x=1，g(1)=−3；当x=2,g(2)=−152，
故g(1)>g(2)，则该函数不存在“T函数”；
(2)证明：充分性：若s(x)=kx，则g(x)=s(x)−s(0)x=kx−0x=k，
任取x1必要性：因为y=s(x)，x∈R是奇函数，则s(0)=0，任取x1因为y=s(x)存在“T函数，所以g(x)=s(x)−s(0)x=s(x)x，则s(x1)x1≤s(x2)x2，
当x1−x2，g(−x1)≥g(−x2)，所以s(−x1)−x1≥s(−x2)−x2，
所以−s(x1)−x1≥−s(x2)−x2，所以s(x1)x1≥s(x2)x2，所以s(x1)x1=s(x2)x2，
即s(x)x是一个常数，设为k，则s(x)=kx，
综上命题得证．
(3)设函数y=h(x)=m⋅2x−2023x与函数y=t(x)=−m⋅2x+x的定义域都是R，且均存在“T函数”，
则h(x1)−h(0)x1≤h(x2)−h(0)x2,t(x1)−t(0)x1≤t(x2)−t(0)x2，
所以h(x1)+t(x1)−h(0)−t(0)x1≤h(x2)+t(x2)−h(0)−t(0)x2，
所以y=h(x)+t(x)=m(2x−2−x)−2022x存在“T函数”，
因为此函数定义域为R，关于原点对称，且h(−x)+t(−x)=m(2−x−2x)+2022x=−[h(x)+t(x)]，
则y=h(x)+t(x)是奇函数，由(2)知，存在k使得m(2x−2−x)−2022x=kx恒成立，
所以m=0，又m=0时，y=−2023x，y=x均为“T函数”符合题意，
综上可知，m=0.
【解析】(1)根据题意由g(1)>g(2)判断即可；
(2)由“T函数”的定义，分别验证充分性和必要性即可；
(3)先判断和函数为奇函数和“T函数”，结合(2)可得结果．
本题考查了函数的奇偶性，函数与方程的综合应用和充分必要条件的证明，考查了转化思想和方程思想，属难题．