2023-2024学年上海市嘉定一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“α=π3是“sinα= 32”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.下列命题中正确的是( )
A. 若α∈(−π2,π2)且x2>x1>0，则(x2x1)sinα<1
B. 若α∈(−π2,π2)且x1>x2>0，则(x2x1)csα>1
C. 若α∈(−π2,π2)且x2>x1>0，则(x2x1)csα>1
D. 若α∈(−π2,π2)且x1>x2>0，则(x2x1)sinα<1
3.函数y=cs(2x+π6)的图像F可按向量d方向平移到图像F′(平移距离为|d|)，F′的函数解析式为y=g(x)，当y=g(x)为奇函数时，向量d可以等于( )
A. (−π3,0)B. (−π6,0)C. (π6,0)D. (π4,0)
4.我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行扫线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数y=tan(ωx+π12)(ω>0)图像中的两条和邻“平行曲线”与直线y=2024相交于A、B两点，且|AB|=π2，已知命题：①ω=4；②函数在[0,2024π]上有4048个零点，则以下判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.2024°是第______象限角．
6.向量AB+BC+CD+DA化简后等于______．
7.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P(45,35)，则cs2α= ______．
8.已知tanα=12，则sinα−csαsinα+csα= ______．
9.已知函数y=2sin(2ωx−π4)(其中常数ω≠0)的最小正周期为2，则ω= ______．
10.已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为60°，则a在b方向上的投影是______．
11.已知锐角α，β满足csα=45，cs(α+β)=35，则sinβ= ______．
12.对于函数y=f(x)，其中f(x)=asin2x+btanx+3.若f(−2)=1，则f(π+2)= ______．
13.若014.已知函数y=f(x)，其中f(x)=2sin(2x+π3)在[0,a]，(a>0)上是严格增函数，则a的最大值为______．
15.已知△ABC，AB=3，AC=2，AD=12AB+12AC，且|AD|=1，则∠BAC= ______．
16.已知ω∈(0,π)，φ∈[0,2π)，函数f(x)=sin(ωx+φ)，对任意正整数n，有f(n+4)=f(n)，且集合A={x|x=f(n),n∈Z,n≥1}的元素个数为3，则满足要求的f(1)的取值集合M= ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2b−c)csA=acsC．
(1)求角A的大小；
(2)若a=3，b=2c，求△ABC的面积．
18.(本小题15分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
19.(本小题15分)
如图，有一块边长为3m的正方形铁皮ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为2m的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在BC与CD上的矩形铁皮PQCR，使点P在弧TN上.设∠TAP=θ，矩形PQCR的面积为Sm2．
(1)求S关于θ的函数表达式；
(2)求S的最大值及S取得最大值时θ的值．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin2ωx+2 3csωxsinωx(ω>0)的最小正周期T=π．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求不等式f(x)> 3+1的解集．
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1，其中ω>0．
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2)，|x1−x2|min=π2，求ω的值；
(2)若2<ω<4，函数f(x)图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，x=π3是g(x)的一个零点，若函数g(x)在[m,n](m，n∈R且m(3)令h(x)=sin(2x+φ)(φ∈[0,2π))，对任意实数x1，x2.当x1≠x2时，有h(x1)−h(x2)f(x1)−f(x2)>0成立.将函数为h(x)的图像向左平移φ0(φ0>0)个单位得到函数u(x)，已知函数y=10u(x)+lgh(x)的最大值为10，求满足条件的φ0的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：当α=π3时，则sinα= 32
当sinα= 32时，α=π3+2kπ或2π3+2kπ，k∈Z，
故α=π3⇒sinα= 32，
反之sinα= 32不能推出α=π3
所以前者是后者的充分不必要条件
故选：A．
根据所给的角和角的正弦值，看两者能不能互相推出，根据特殊角的三角函数，得到前者可以推出后者，而后者不能推出前者，得到结论．
本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题的关键是对于三角函数中给值求角和给角求值的问题能够熟练掌握，本题是一个基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于AC：若α∈(−π2,π2)且x2>x1>0，则x2x1>1，
当α∈(0,π2)时，sinα>0，故(x2x1)sinα>1，故A错误，
由α∈(−π2,π2)，可得csα>0，所以(x2x1)csα>1，故C正确；
对于BD：若α∈(−π2,π2)且x1>x2>0，则0当α∈(−π2,π2)时，csα>0，此时(x2x1)csα<1，故B错误；
当α∈(−π2,0)时，sinα<0，(x2x1)sinα>1，故D错误．
故选：C．
利用指数函数的性质及三角函数在(−π2,π2)上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果．
本题主要考查指数函数的性质及三角函数的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：设d=(m,n)，
函数y=cs(2x+π6)的图像F按向量d方向平移到图像F′，F′的函数解析式为y=g(x)=cs[2(x−m)+π6]+n，
∵y=g(x)为奇函数，
∴π6−2m=kπ+π2(k∈Z)，且n=0，
∴−2m=kπ+π3(k∈Z)，
∴m=−kπ2−π6(k∈Z)，
当k=0时，m=−π6，此时d=(−π6,0)．
故选：B．
设d=(m,n)，依题意，可求得m=−kπ2−π6(k∈Z)，结合选项，对k赋值可得答案．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可得：T=π2，所以πω=π2，所以ω=2，所以①不正确．
函数y=tan(ωx+π12)(ω>0)图像，在一个周期内，只有一个零点，
所以函数在[0,2024π]上有4048个周期，因此，函数有4048个零点，所以②正确．
故选：D．
求解函数的周期，推出ω，然后求解函数的零点个数．
本题考查正切函数的图象与性质的应用，是基础题．
5.【答案】三
【解析】解：2024°=5×360°+224°，
则2024°是第三象限角．
故答案为：三．
根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
本题主要考查象限角，属于基础题．
6.【答案】0
【解析】解：由向量加法的运算法则，可得
AB+BC+CD+DA=(AB+BC+CD)+DA=AD+DA=0．
故答案为：0．
直接根据向量的加法法则写出结果即可．
本题主要考查了向量的加法的运算法则的运用，属于基础题．
7.【答案】725
【解析】解：由角α的终边过点P(45,35)，
得sinα=35 (45)2+(35)2=35，
csα=45 (45)2+(35)2=45，
所以cs2α=cs2α−sin2α=725．
故答案为：725．
由任意角三角函数定义可求得sinα、csα，即可由倍角公式求值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】−13
【解析】解：∵tanα=12，
∴sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=−13．
故答案为：−13．
将所求关系式sinα−csαsinα+csα中的“弦”化“切”，代入计算即可．
本题考查同角三角函数基本关系的运用，“弦”化“切”，是关键，属于中档题．
9.【答案】±π2
【解析】解：因为y=2sin(2ωx−π4)(其中常数ω≠0)的最小正周期为2，
所以2=2π2|ω|，解得ω=±π2．
故答案为：±π2．
直接利用正弦函数的周期公式求出ω的值．
本题考查的知识要点：正弦函数的周期性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】32
【解析】解：因为|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为60°，
所以a在b方向上的投影为|a|cs60°=3×12=32．
故答案为：32．
由投影向量的求法计算即可．
本题考查平面向量投影的求法，属于基础题．
11.【答案】725
【解析】解：锐角α，β满足csα=45，可得sinα= 1−1625=35，
由锐角α，β，可得0<α+β<π，
又cs(α+β)=35，可得sin(α+β)= 1−925=45，
则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=45×45−35×35=725，
故答案为：725．
由同角的平方关系，结合β=(α+β)−α，由两角差的正弦公式计算可得所求值．
本题考查两角差的正弦公式、同角的平方关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
12.【答案】5
【解析】解：f(x)=asin2x+btanx+3，
则f(−2)=asin(−4)+btan(−2)+3=−asin4−btan2+3=1，即asin4+btan2=2，
故f(π+2)=asin(2π+4)+btan(π+2)+3=asin4+btan2+3=2+3=5．
故答案为：5．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
13.【答案】 105
【解析】解：∵lg(sinx+csx)=12(3lg2−lg5)
∴sinx+csx= 85
∴(sinx+csx)2=1+2sinx⋅csx=85
∴2sinx⋅csx=35
∴(csx−sinx)2=1−2sinx⋅csx=1−35=25
又∵0∴csx>sinx
∴csx−sinx= 105
故答案为： 105
由已知中lg(sinx+csx)=12(3lg2−lg5)，由对数的运算性质我们可得sinx+csx= 85，利用平方法，可先后求出2sinx⋅csx值和(csx−sinx)2值，进而根据0本题考查的知识点是对数的运算性质，同角三角函数间的基本关系，其中利用平方法先后求出2sinx⋅csx值和(csx−sinx)2值，是解答的关键，本题易忽略014.【答案】π12
【解析】解：由于函数满足的单调递增区间为−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，(k∈Z)，
解得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12，k∈Z；
故函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12]，k∈Z；
故[0,a]⊆[−5π12+kπ,kπ+π12]，k∈Z；
故k=0，a∈(0,π12]，即a的最大值为π12．
故答案为：π12．
由整体代入法得函数的单调递增区间，对比[0,a]，(a>0)即可得解．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．
15.【答案】π−arccs34
【解析】解：由AD=12AB+12AC可知，D为BC中点．
设BD=x，则由∠ADB+∠ADC=π可得，
1+x2−42×1×x+1+x2−92×1×x=0，
解得x= 222，∴BC=2BD= 22，
故cs∠BAC=4+9−222×2×3=−34，即∠BAC=arccs(−34)=π−arccs34．
故答案为：π−arccs34．
在三角形中，由∠ADC和∠ADB互补，可求出BC的长度，在△ABC中，由余弦定理可求出∠BAC的余弦值，进而求出∠BAC．
本题主要考查余弦定理，属基础题．
16.【答案】{0,1,−1}
【解析】解：因为对任意正整数n，有f(n+4)=f(n)，
所以函数周期为4，
则ω=2π4=π2，
所以f(x)=sin(π2x+φ)，
则f(1)=sin(π2+φ)=csφ，f(2)=sin(π+φ)=−sinφ，
f(3)=sin(3π2+φ)=−csφ，f(4)=sin(2π+φ)=sinφ，
而集合A中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的，
若f(1)=f(2)，即csφ=−sinφ，则f(3)=f(4)，集合A中只有2个元素，不合题意；
若f(1)=f(4)，即csφ=sinφ，则f(2)=f(3)，集合A中只有2个元素，不合题意；
若f(1)=f(3)，即csφ=−csφ，则csφ=0，得φ=π2或φ=3π2，
此时f(1)=csφ=0；
若f(2)=f(4)，即−sinφ=sinφ，则sinφ=0，得φ=π或0，
此时f(1)=csφ=1或−1；
综上，f(1)的值为0或1或−1，
所以M={0,1,−1}．
故答案为：{0,1,−1}．
由f(n+4)=f(n)，可得函数周期为4，进而可ω的值，由周期为4，列举f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，结合集合元素的互异性得到可能的φ的值，进而求得f(1)的值．
本题考查了三角函数的性质、分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)(2b−c)csA=acsC，
∴2sinBcsA=sinAcsC+sinCcsA，即2sinB⋅csA=sin(A+C)，
∴2sinBcsA=sinB，
∵0∴csA=12，∵0∴A=π3．
(2)由余弦定理得：csA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−94c2=12，
解得c= 3，∴b=2 3．
∴S△ABC=12bcsinA=12×2 3× 3× 32=3 32．
【解析】(1)利用正弦定理将边化角，再利用和角公式化简即可得出csA=12；
(2)利用余弦定理列方程求出b，c，代入面积公式得出答案．
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵(a+b)⊥b，|a|=5，|b|=4，
∴(a+b)⋅b=a⋅b+b2=0，
∴5×4×cs〈a,b〉+16=0，
∴cs〈a,b〉=−45；
(2)由(1)知a⋅b=5×4×(−45)=−16，
∴(2a+b)2=4a2+b2+4a⋅b=4×25+16+4×(−16)=52，
∴|2a+b|=2 13．
【解析】(1)根据向量垂直得到(a+b)⋅b=0，由数量积的定义及运算律计算可得；
(2)首先求出a⋅b，再根据数量积的运算律求出(2a+b)2，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
19.【答案】解：(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，

由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=2sinθ，FP=2csθ，∴PR=3−2sinθ，PQ=3−2csθ，
∴S=PR⋅PQ=(3−2sinθ)(3−2csθ)=9−6(sinθ+csθ)+4sinθcsθ，
故S关于θ的函数解析式为S=9−6(sinθ+csθ)+4sinθcsθ(0⩽θ⩽π2)；
(2)由sinθ+csθ=t，可得t2=(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ，即sinθcsθ=t2−12，
∴S=9−6t+2(t2−1)=2t2−6t+7，
又由0⩽θ⩽π2，可得π4⩽θ+π4⩽3π4，故t=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)∈[1, 2]，
∴S关于t的表达式为S=2t2−6t+7(t∈[1, 2])，
又由S=2(t−32)2+52,t∈[1, 2]
可知当t=1时，S取最大值，故S的最大值为3，此时θ+π4=π4或3π4，即θ=0或π2．
【解析】(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出PR=3−2sinθ，PQ=3−2csθ，再求S=PR⋅PQ即可；
(2)令sinθ+csθ=t，由正弦函数的性质得出t的范围，再由二次函数的性质得出S=2t2−6t+7的最值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)依题意，f(x)= 3sin2ωx−cs2ωx+1=2( 32sin2ωx−12cs2ωx)+1
=2(sin2ωxcsπ6−12cs2ωxsinπ6)+1=2sin(2ωx−π6)+1，
由f(x)最小正周期T=2π2ω=π，解得ω=1，
则f(x)=2sin(2x−π6)+1．
(2)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z，
所以f(x)单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；
令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2,k∈Z，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z，
所以f(x)单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)．
(3)由f(x)> 3+1，得2sin(2x−π6)+1> 3+1，即sin(2x−π6)> 32，
则2kπ+π3<2x−π6<2kπ+2π3,k∈Z，解得x∈(kπ+π4,kπ+5π12)(k∈Z)，
所以不等式f(x)> 3+1的解集为(kπ+π4,kπ+5π12)(k∈Z)．
【解析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数f(x)，再由周期求出ω即得．
(2)利用正弦函数的区间及单调性，列出不等式求解即得．
(3)利用正弦函数的性质求解不等式．
本题主要考查三角函数的解析式求解和性质应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1=2sin(2ωx+π6)−1，
若f(x1)≤f(x)≤f(x2)，|x1−x2|min=π2，
则x1与x2是相邻的最小值点和最大值点，
所以f(x)的最小正周期为2×π2=π，
由2π2ω=π，解得ω=1；
(2)g(x)=f(x−π6)=2sin[2ω(x−π6)−π6]+1=2sin(2ωx+1−2ω6π)+1，
g(π3)=2sin(2ωπ3+1−2ω6π)+1=2sin(ωπ3+π6)+1=0，
所以sin(ωπ3+π6)=−12，
所以ωπ3+π6=7π6+2π(k∈Z)或ωπ3+π6=11π6+2kπ(k∈Z)，
解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z)，
又2<ω<4，得ω=3，
所以g(x)=2sin(6x−56π)+1，
函数最小正周期T=2π6=π3，
令g(x)=0，即sin(6x−56π)=−12，
解得y=π9+k1π3(k1∈Z)或X=k1π3(k2∈Z)，
若g(x)在[m,n]上恰好有4个零点，则2T要使n−m最小，则m，n恰好为g(x)的零点，
所以n−m的最小值为2×π3+π9=7π9；
(3)由题意u(x)=h(x+φ0)=sin(2x+φ+2φ0)，
因为u(x)≤1，h(x)≤1，
所以y=10u(x)+lgh(x)≤10，当且仅当u(x)=1，h(x)=1时取等号，
又因为函数y=10u(x)+lgh(x)的最大值为10，
所以u(x)=1，h(x)=1同时取得最大值1，
所以2φ0=2kπ,k∈N*，
所以φ2=kπ,k∈N*，
所以满足条件的φ0的最小值为π．
【解析】(1)利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，即可得ω；
(2)由图像平移变换得到函数g(x)，结合g(π3)=0和2<ω<4，求得ω，根据g(x)的零点个数可得2T(3)根据u(x)≤1，h(x)≤1，可得y=10u(x)+lgh(x)≤10，当且仅当u(x)=1，h(x)=1时取等号，进而可求出φ0．
本题考查了三角恒等变换、三角函数图象的变化及正弦型函数的性质，属于中档题．