【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市杨浦区九年级数学一模试卷与答案

这是一份【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市杨浦区九年级数学一模试卷与答案，共8页。试卷主要包含了6，cs37°≈0等内容，欢迎下载使用。
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是
各个内角的大小始终保持不变； （B）各条边的长度始终保持不变；
（C） 三角形的面积始终保持不变； （D）三角形的周长始终保持不变．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，那么sinB的值是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．下列二次函数中，如果函数图像的顶点在x轴上，那么这个函数是
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是
（A）； （B）； （C）； （D），.
5．小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（A）75米； （B）80米； （C）100米； （D）米．
6．在学习了“利用函数的图像研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图像，列出了如下表格：


那么下列说法中正确的是
该函数的图像关于y轴对称；
（B）该函数的图像没有最低点也没有最高点；
（C）该函数的图像经过第一、二、三、四象限；
（D）沿x轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．如果，那么= ▲ ．
8．已知函数，那么 ▲ ．
9．已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ▲ ．
10．如果两个相似三角形对应高的比是2∶3，那么它们的面积比是 ▲ ．
11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，BC=9，cs∠ACD=，那么AB的长为 ▲ ．
12．已知在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的一点，，AC=15，要使DE∥BC，那么AE= ▲ ．
13．已知二次函数的图像开口向上，点A（-2，）和点B（0，）是该抛物线上的两点，那么 ▲ ． （填“”、“=”或“”）．
14．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，设，，那么 ▲ ．（用含、的式子表示）
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，中线BE与高AD交于点G，如果DE=，那么BE= ▲ ．
16. 如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有 ▲ 海里．（结果保留根号）
17．如图，已知正方形ABCD与正方形CFGH，F为CD边上一点，GF的延长线交AB于点E，如果AH∥DG，联结CE，那么 ▲ ．
第16题图
A
B
P
A
B
CV
E
D
第17题图
F
G
H
A
B
CV
E
D
第14题图
18．已知矩形ABCD（AD＞AB），点E是边AD的中点，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在对角线AC上，那么tan∠FBC= ▲ ．
A
B
CV
E
D
第15题图
G
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
已知抛物线经过点A(0，3)、点B（4，3）、点C（1，0）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点（，2）的位置，那么平移的方法是 ▲ ．
21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
A
B
CV
D
第21题图
如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，BC=8，AC=，sin∠DAC=．
（1）求BD的长；
（2）求∠ABD的正切值.
22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
定义：如图1，已知点Q、R是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当时，称点P是线段QR的最佳视野点.
如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏AB，点A到水平地面的距离AC为5米，在水平地面CD的E处有一个自动扶梯EF，点A、B、C在同一直线上.已知自动扶梯EF的坡度是1∶2，点E到点C的距离是10米.
（1）当行人行走在水平地面CE时，发现点H恰好是屏幕AB的最佳视野点，且从点H测得点B的仰角为60°.求AB的长；（忽略行人的高度）
A
B
EV
F
C
D
第22题图2
H
Q
R
MV
O
第22题图1
P
NV
（2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯EF上找到屏幕AB的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕AB的垂直平分线与EF的交点”.你同意这个说法吗？请通过计算说明理由.（忽略行人的高度）
23．（本题满分12分，每小题各6分）
A
B
CV
E
D
第23题图
已知：如图，△ABC中，∠A=90°，点D是AB边上一点，过点B 作BE⊥CD交CD延长线于点E，．
（1）求证：；
（2）求证：.
24．（本题满分12分，每小题各4分）
O
第24题图
在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于点A（-1，0）和点B，顶点为D．
（1）求此抛物线的对称轴及点B的坐标；
（2）点P是该抛物线上的一点，设对称轴与x轴交于点E，如果BP恰好平分线段DE，求点P的坐标（用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，联结PD、AP，当∠DPB=∠PAB时，求m的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（2）小题6分）
已知△ABC中，∠B=90°，点D在边BC上，CD=3BD．
（1）如图1，当AB=6，sinC=时，求AD的长；
（2）点E是AC边上一点，满足∠ADB=∠ADE．
①如图2，当时，求的值；
A
B
C
E
D
第25题图2
②当△CDE是等腰三角形时，求∠C的余弦值．
A
B
C
D
第25题图1
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．； 8．9； 9．； 10．4∶9； 11．12； 12．6；13．；
14．； 15．； 16． ； 17． ； 18． ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．解：原式（8分）
．（2分）
20．解：（1）将点A(0，3)、点B（4，3）、点C（1，0）代入．
得．
解得a=1，b=，c=3（4分）
∴抛物线的表达式是：（2分）
向左平移4个单位，再向上平移3个单位（4分）
21．解：(1) ∵梯形ABCD，AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADC=90°．（1分）
在Rt△ADC中，∵AC=，sin∠ACD=，
∴CD=6．（2分）
在Rt△BCD中，∵BC=8，CD=6，
由勾股定理得：BD=10．（2分）
(2)由（1）可得：AD=2，cs∠DBC=．（2分）
过点A作AE⊥BD，垂足为点E．
在Rt△AED中，∠AED=90°，AD=2，cs∠ADB=cs∠BDC=，
∴AE=，DE=．（2分）
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=，BE=10-=，
∴tan∠ABD=．（1分）
22．解：(1)由题意，∠BHC=60°，设CH为x，则BC为．
∵点H恰好是屏幕AB的最佳视野点，
∴，
∴，（2分）
解得：，（1分）
∴BC的长是15米，（1分）
∴AB的长是10米．（1分）
(2)不同意．
作AB的垂直平分线交AB于K，交EF于点G，分别延长FE与BC交于点L.
由题意，可得：∠KGL=∠CEL，AK=5.
∵自动扶梯EF的坡度是1∶2，CE=10，
∴CL=5，（2分）
∴KL=15，AL=10，BL=20.
又∠KGL=∠CEL，∴LG=，（1分）
∵，=200，
∴，（1分）
∴点G不是自动扶梯EF上的最佳视野点.（1分）
(其它方法酌情给分）
证明：(1) ∵，
∴．
在Rt△ADC与Rt△BEC中，∠E=∠A=90°，（1分）
∴△ADC∽△BEC．（1分）
∴∠ACD=∠BCE，∠ADC=∠EBC，又∠ADC=∠EDB，
∴∠EDB=∠EBC．（2分）
在△EBD与△ECB中，∠EDB=∠EBC，∠E是公共角，
∴△EBD∽△ECB，（1分）
∴，即．（1分）
延长CA、BE交于点H.
∵∠ACD=∠BCE，∠BEC=90°，由三角形内角和可得
∠EBC=∠H，（1分）
∴BC=CH.（1分）
又∠ACD=∠BCE，∴BH=2BE=2EH.（1分）
在Rt△ABH与Rt△BEC中，∠BEC=∠BAH=90°，∠EBC=∠H，
∴Rt△ABH∽Rt△BEC.（2分）
∴，即.（1分）
24．解：(1) 对称轴是直线x=．（2分）
∵点A与点B关于对称轴对称，点A（-1，0）∴点B的坐标为：（-5，0）．（2分）
由题意，可知n=5m，点E坐标为（-3,0），顶点D的坐标为：
设DE的中点为F，则点F的坐标．（1分）
设点P的坐标为．作PG⊥x轴，垂足为点G.
∵PG⊥x轴，DE⊥x轴，∴PG∥DE，∴BE：BG=EF：PG，
∴，（1分）
解得a=-2或a=-5（舍去）（1分）
∴点P坐标为（1分）
（3）延长DP交x轴于点H．∵点D，点P坐标为（-2，）.
∴直线PD的函数解析式为：y=.
∴点H的坐标为（1，0）.（1分）
又∵∠DPB=∠PAB，∴∠BPH=∠HAP.
在△BPH与△HAP中，∠BPH=∠HAP，∠H是公共角，
∴△BPH∽△HAP.（1分）
∴，又AH=2，BH=6，
∴PH=.（1分）
在Rt△PGH中，PH=，GP=，GH=3，
解得：m=（舍去）或m=.（1分）
（其它方法酌情给分）
25.(1) 在Rt△ABC中，AB=6，sinC=，
∴AC=
∴BC=12，（1分）
∴又CD=3BD，∴BD=3（1分）
∴在Rt△ABD中，AB=6，BD=3，∴AD=．（1分）
（2）∵CD=3BD，∴设BD为a，则CD为3a．
过点A作AG∥BC，交DE延长线于点G．
∵，∴，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD.
∴∠ADC=∠DEC.
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ADB=∠AED，∵∠ADB=∠ADE，即∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，（1分）
过点A作AH⊥DE，则可得DH=EH，
又∠ADB=∠ADH，∴AB=AH，得BD=DH，∴DE=2a.（1分）
∵AG∥BC，∴，∠ADB=∠GAD．
∴∠GAD=∠GDA，∴GA=GD.
设AG为b，则GD=b，GE=b-2a,
∴，
整理得：b=6a（1分）
∴GH=5a，在Rt△AGH中，GH=5a，AG=6a，
∴AH=，即AB=（1分）
∴．（1分）
（其它方法酌情给分）
(3) ∵∠ADB=∠ADE，∠ADB+∠BAD=90°，∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=2∠BAD.
过点A作AP∥CD交DE延长线于点P.
当DE=DC时，∠DEC=，但CE不平行AD，舍去（1分）
当ED=EC时，过点E作EM⊥BC，垂足为M.∴DM=CM=.
又∠B=∠EMC=90°，∴EM∥AB，∴CE：AE=CM：BM=3:5.
∵AP∥CD，∴，∴AP==3:5=，
又EC=ED，∴AE=PE，得AC=PD，
由（2）问可知，此时AP=PD，∴AC=.（1分）
∴cs.（1分）
当CE=CD=3a时，同理可得，AP=PD=AE.设AP=PD=AE=b.
延长DB至点O，使得DO=DP.
易证△AOD≌ADP，PE=2OB，
∴OB=b-a，PE=2b-2a，（1分）
又PD=b，∴DE=2a-b，
∵AP∥BC，∴，
∴，
整理得：，解得.（1分）
∴AC=，
∴cs.（1分）
x
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