【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市黄浦区九年级数学一模试卷与答案

这是一份【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市黄浦区九年级数学一模试卷与答案，共10页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题；， ▲ 等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，考试时间：100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．已知线段a＝2cm，b＝3cm，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（ ▲ ）
（A）6 cm；（B）cm；（C）cm；（D）cm．
2．已知，那么下列各式中，成立的是（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
3．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，＝，那么的值为（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝3，那么下列条件中能够推得DE//BC的是（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
（第5题图）
O
x
y
-1
5．已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（ ▲ ）
（A）；（B）；
（C）；（D）．
（第6题图）
B
A
C
D
E
F
6．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（ ▲ ）
（A）可证，进而证得△DEF∽△ABC；
（B）可证∠B=∠FED，∠C=∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC；
（C）可证∠B=∠FED，，进而证得△DEF∽△ABC；
（D）可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． ▲ ．
8．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为65°和80°，那么另一个三角 形中最小内角的度数为 ▲ °．
9．如果一个等腰三角形的三边长均扩大为原来的10倍，那么这个等腰三角形底边上的高扩大为原来
的 ▲ 倍．
10．在直角坐标平面内有一点，那么OP与x轴正半轴夹角的余弦值是 ▲ ．
11．如果一传送带和地面所成斜坡的坡比为，要把物体从地面送到离地面10米高的地方，物体所经过的路程为 ▲ 米．
12．某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ▲ ．
13．如图，已知梯形ABCD中，E、F分别是腰AB、CD上的点，AD∥EF，如果，那么＝ ▲ ．
14．如图，在四边形ABCD中，E是BD上的点，，，，那么＝ ▲ ．
15．如图，已知点O是△ABC的重心，BO⊥CO，，如果，那么点A、O的距离为
▲ ．
A
D
E
F
（第13题图）
C
B
A
E
C
B
D
（第14题图）
C
O
B
A
（第15题图）
16．体育课上投掷实心球活动．如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，当实心球运动到点B时达到最高点，那么实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为 ▲ 米．
y（米）
（3, 3.125）
x（米）
O
（第16题图）
A
B
C
（第17题图）
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
（第18题图）
A
B
C
D
P
M
N
17．如图，将矩形ABCD平移到矩形EFGH的位置（点A对应点E，点B对应点F，点C对应点G），边EH与CD交于点M，边EF与BC交于点N，其中，，如果M、N两点的距离为，那么A、E两点的距离为 ▲ ．（用含的代数式表示）
18．将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线AC折叠，得到折痕AC；②折叠纸片使边CD落在折痕AC上，点D落在点P处,得到折痕CM；③过点M折叠纸片，使点D、C分别落在边AD、BC上，展开得到折痕MN．如果矩形MDCN是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边＝ ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分）
已知抛物线经过点、、．
（1）求该抛物线的表达式及其对称轴l；
（2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结AB、BD，求△ABD的面积．
21．（本题满分10分）
（第21题图）
D
A
B
C
E
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝5，对角线AC、BD交于点E．
（1）设，，试用、的线性组合表示向量．
（2）已知AD⊥CD，，求的值．
22．（本题满分10分）
A
B
C
D
（图1）
某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动．
甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长40 cm，木条CD长60 cm，DB长20 cm（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪．
（图2）
任务：测量校园内某棵大树MN的高度（树顶端M与树根部N的距离）．
工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c……表示．
反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下：
23．（本题满分12分）
A
B
C
D
E
F
（第23题图）
已知在△ABC中，CD平分∠ACB，E是CD延长线上一点，AE＝AD，F是AB延长线上的点，联结CF．
（1）求证：△CEA∽△CDB；
（2）如果CF∥AE，求证：．
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D．
（1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标；
（2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且．
①求该抛物线两次平移的方向和距离；
②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式．
O
x
（第24题图）
y
25．（本题满分14分）
已知平行四边形ABCD中，AB＝9，BC＝5，，P是边AB上一动点，过点P作，交射线CD于点E，交AC于点H，F是PE上的点，，联结CF．
P
F
H
（第25题图）
E
A
B
D
C
（1）求证：；
（2）当△APC∽△EFC时，求线段BP的长；
（3）当时，求的值．
A
B
D
C
（备用图）
参考答案与
一、选择题：（本大题6小题，每小题4分，满分24分）
1.B； 2.C ； 3.A； 4.D； 5.B； 6.C.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8．35； 9．10； 10． ； 11．26； 12．如 等； 13． ； 14．； 15．10 ； 16. 8； 17. ； 18．.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式 ，…………………………………………………（5分）
=，……………………………………………………………………………（4分）
=.………………………………………………………………………………………（1分）
20．解：（1）∵抛物线经过点、、三点，
∴ 解得………………………………………………………………（4分）
∴抛物线的表达式为 …………………………………………………………（1分）
抛物线的对称轴l为直线.……………………………………………………………（1分）
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为点H.
∵点A与点D关于对称轴l对称，又点，∴ ……………………………（1分）
∴AD∥x轴，AD=6.∵，∴BH=8. …………………………………………………（2分）
∴ ……………………………………………………（1分）
21．解：（1）∵AD∥BC，. ……………………………………………………（1分）
∵AD＝4，BC＝5，∴， .
∵，，∴ ， .………………………………………（2分）
∵ ，∴．………………………………………………（2分）
（2）方法1：过点A作AF⊥BC，垂足为点F. ……………………………………………（1分）
在Rt△ADC中，AD⊥CD，AD=4，，∴CD=2. ……………………………（1分）
∵AD∥BC，∴∠FAD=90°，又AD⊥CD，∴四边形ADCF是矩形. ……………………（1分）
∴AF=CD=2，AD=FC=4，∵BC=5，∴BF=1,∴.………………………………（1分）
∴. ……………………………………………………………（1分）
方法2：∵AD⊥CD，， ∴,∵AD＝4，∴CD=2. ……（1分）
∵ ，∴ . ……………………………………………………（1分）
∵AD∥BC，∴ .∵ ，∴△DAC∽△ACB.………………（2分）
∴ ，∴ . ………………………………………（1分）
22．第一次实践 需要测量得到的相关数据有： NE=bcm . …………………………（2分）
利用得到的数据表达树MN的高度：MN= （a+b+40） cm. ………………（2分）
第二次实践 需要测量得到的相关数据有： EF=c cm . ……………………………（2分）
解决问题： 设MH=x.
由题意可知BC=AB=40cm，BD=20cm，AB⊥CD，∴，.
∵AH⊥MN，∴AH=MH=x. ，∴.………………………（2分）
∵，∴x=c. …………………………………………………（1分）
∴MN=（c+a）cm. …………………………………………………………………………（1分）
（以上两次实践活动方案合理，可操作，答案酌情给分）
23.证明：（1）∵AE=AD，∴∠E=∠ADE. ………………………………………………（2分）
∵∠ADE=∠CDB，∴∠E=∠CDB. …………………………………………………………（2分）
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∴△CEA∽△CDB. ………………………………（2分）
（2）∵CF∥AE，∴∠E=∠DCF. ………………………………………………………………（1分）
∵∠DCF=∠DCB+∠BCF，∠E=∠CDF=∠ACE+∠CAD，∴∠BCF =∠CAD. ……………（1分）
又∠F=∠F，∴△CFB∽△AFC， ∴.……………………………………………（2分）
由△CEA∽△CDB，∴.又AE=AD，∴，∴.…………（2分）
24. （1） ， , ………………………………………………………（2分）
. …………………………………………………………………………………（2分）
（2）①方法1：过点作，垂足为点H.
由题意可得直PC：,设.……………………………………………（1分）
∴新抛物线，∴ . ………………………（1分）
∵x轴⊥y轴，∴ ，∴，
∴，∴，∴ .………（1分）
∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位. ………………………………………（1分）
方法2：过点作，垂足为点H.
设，∴新抛物线，
∴ . ………………………………………………………………………………（1分）
∵x轴⊥y轴，∴ ，∴，
∴，∴.…………………………………………（1分）
又，∴，∴ ，∴.…………………………………（1分）
∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位. ………………………………………（1分）
②方法1：由被y轴平分，，设，∴.……………（2分）
∵点A在原抛物线上，∴.………………………………………（1分）
解得 .∴.………………………………………………（1分）
方法2：由，令y=0，得，∴ . …………（1分）
∴ . ………………………………………………………………………（1分）
过点作∥x轴交y轴于点G.
∵被y轴平分，∴，∴， …………………………………（1分）
解得 .∴.………………………………………………（1分）
25.解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为点G.
∵BC=5，，∴BG=3，CG=4. ……………………………………………………（1分）
∵AB=9，∴AG=6, ∵∠AGC=90°，∴.…………………………（1分）
∵∠CPF=90°，，∴.…………………………………（1分）
∵，∴.……………………………………………（1分）
（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.
∵∠PCF=∠BAC，∴∠PCF=∠ACD，∴∠PCA=∠FCD.……………………………………（1分）
∵△APC∽△EFC， ，∴∠APC=∠EFC，∴∠BPC=∠PFC. ……（1分）
∴，∴ ，………………………………………………（1分）
∴，∴.……………………………………………………………………（1分）
（3）过点H作HM⊥AB，垂足为点M.
∵∠FPC=90°,∴∠MPH=∠PCG.
又∠HMP=∠CGP=90°，∴△MPH∽△GCP. ……………………………………………（1分）
∴，∵，∴.………………………………………（1分）
①当点F在线段PH的延长线上时，由，可得.…………………………（1分）
设MH=a，∴GP=2a，MP=2，，∴，.
∴.………………………………………………………………………（1分）
②当点F在线段PH上时，可得PH=PC. …………………………………………………（1分）
设MH=b，∴GP=b，MP=4，，∴，.
∴.………………………………………………………………………（1分）
综上所述的值为.
第一次实践
实践
操作
甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示．
示
意
图
3
E
M
H
N
A
B
C
D
获取
数据
乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离BE＝a cm，还需要测量得到的相关数据有：
．
解决
问题
利用得到的数据表示树MN的高度：
MN＝ cm．
第二次实践
实践
操作
A1
M
C
D1
B1
A
B
C1
H
D
F
N
E
甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示．
示
意
图
4
A1
C1
D1
B1
M
H
A
C
B
D
N
E
F
获取数据：
点B到地面的垂直距离BE＝a cm，
乙还需要测量得到的相关数据有：
．
解决
问题
利用得到的数据表示树MN的高度．（写出求解过程）