【2025年上海九年级数学一模】2025届上海市青浦区九年级数学一模试卷与答案

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（时间 100 分钟，满分 150 分） 2025.01

考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．如果，那么是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．在△中，，如果，，那么下列结论正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．抛物线的对称轴是
（A）直线； （B）直线；（C）直线； （D）直线．
4．如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的俯角是
（A）； （B）； （C）； （D）．
5．如图，在△中，，，是的角平分线．是
（A）； （B）； （C）； （D）．
6．如图，在△中，点在边上，且，过点的射线与的延长线相交于点，如果∥，那么下列结论错误的是
（A）； （B）； （C）； （ D）．
（第4题图）
（第6题图）
（第5题图）
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．线段厘米，厘米，线段和的比例中项 ▲ 厘米．
8．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ▲ ．
9．二次函数的图像与轴的交点坐标是 ▲ ．
10．二次函数的图像在其对称轴右侧的部分是 ▲ 的（填“上升”或“下降”）．
11．某公司月份产值是万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，
如果月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ▲ ．
12．如图，，如果，那么 ▲ ．
13．如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ▲ ．（结果保留根号）
14. 在△中，，正方形的边在边上，顶点、分别在边、上．如果，，那么正方形的边长是 ▲ ．
15．已知点是△的重心，点在边上，如果∥，那么 ▲ ．
16．如图，点、分别是平行四边形的边、的中点，联结，如果，，那么向量关于、的分解式为 ▲ ．
17．在△中，，点、分别在边、上，且垂直平分．联结，如果，那么 ▲ ．
18．梯形中，已知，，，．将梯形沿过点的直线折叠，点落在上，记作点，折痕与底边的交点记作点．如果，那么 ▲ ．
（第13题图）
（第16题图）
（第12题图）
三、（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分, 第（1）小题3分，第（2）小题7分）
抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表．
（1）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标；
（2）设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：△是直角三角形．
（第21题图）
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图，在菱形中，，．
（1）求对角线的长；
（2）求的值．
22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点、、、在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计．
（1）求道闸升起的最大角的正切值；
（第22题图1）
（第22题图2）
（2）一辆高为米、宽为米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
（第23题图）
已知：如图，点、分别在△的、边上，
，，联结．
（1）求证：△∽△；
（2）取的中点，联结、，
求证：．
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）①小题4分，第（2）②小题5分）
（第24题图）
在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线与轴相交于点，如果
，
① 求的值；
② 设新抛物线的顶点为点，新抛物线上的点是点的对应点．联结、，在新抛物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知梯形中，∥，，点在边上，，，联结.
（1）如图1，联结，求△与△的面积之比；
（2）如图2，如果，，求的正切值；
（3）如图3，联结交于点，如果，且，求边的长.
（第25题图3）
（第25题图2）
（第25题图1）
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．；8．1∶；9．(0，－1)；10．上升；11．；12．5∶2；
13．；14．2；15．；16．；17．；18．5∶4．
三、（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
解：原式＝＝．
20．（本题满分10分, 第（1）小题3分，第（2）小题7分）
解：（1）抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）∵ 抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于，顶点为，
∴ ，，．∴，
，．
∴ ．∴．即 △为直角三角形．
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
解：（1）联结与交于点．∵ 四边形是菱形，∴ ，．
在Rt△中，∴ ．∵ ，，
∴ ，．∴．
（2）过点作，垂足为．∵四边形是菱形，∴．
∴ ．∴ ．
在Rt△ABE中，∴ ．
22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角
最大.延长交于点．根据题意，可知
．
（米）．
在Rt△中，∵，
∴ ．
∵ ∥∥，∴ ．
∴ ． 即道闸升起的最大角的正切值为．
设只升起一个道闸，当最高点在线段上时，
在上取点，过点作，垂足为Z，交NF于点Y．则．
在线段上取车宽，则．
在Rt△中，∵，∴ ．
∵车高，∴ 只起一个道闸，小轿车不能通过．
∴需要同时升起两个道闸．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
证明：（1）∵，∴ ．∵，∴ ．
∴ ．∴．∵，∴ △∽△．
∵ 点是线段的中点，∴ ．
∵ △∽△，∴ ，．
∴ ．∴ △∽△．∴．
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）①小题4分，第（2）②小题5分）
解：（1）∵ 抛物线经过直线上的点，∴点在第四象限.
设点,由，得点.将点代入，
得 该抛物线的表达式为.
（2）①∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移
个单位后，所得新抛物线，∴新抛物线表达式为.
过点作轴，垂足为.在中，∴.
∴.∴.∴点.将点代入，解得 .
（2）②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为.
∵点的坐标为，∴.
∵直线平行于轴，∴.
∵，，∴，∴△∽△.
∴.∵，∴.
分两种情况：
当点在线段的延长线上时，∵，∴.
∴.∴.∴△∽△.
∴. ∴. ∴. ∴点的坐标为
当点在射线上时，∵，∴. ∴点在的延长线上.
在直线上取点，可证∴△∽△. ∴.
∴. ∴. ∴.
∴点的坐标为.
25．解：（1）延长与的延长线相交于点．
∵∥，∴ △∽△．∴．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．
（2）延长与的延长线相交于点．过点作⊥，垂足为点．
∵，．∴ △∽△．∴ ．
∵∥，∴ ． ∴ ． ∴ ，即．
在Rt△中，∴ ，∴ ．∴．
∴ ， ∴ ．∴ ．
设，则．在Rt△中，．
∵，∴ ．
（3）以点为圆心，长为半径画弧与的延长线交于点，联结．
则，.过点作，垂足为.
在Rt△中，.∵，∴.
∵，∴.∵，∴ △∽△．
∴.∵ AD∥BC，∴.∴.
∴. ∴ △∽△．∴ ．∴ ．
设，则，∴，．
∵，∴∴∴．
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