湖南省平江县颐华高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

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一、单选题（共有8题，每题5分，共40分，每小题只有一项正确答案.）
1、已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，则A∩B＝（ D ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥0且x≠1} C．{x|x≠1} D．{x|x＞0}
2、命题“，”的否定为（D ）
A. ， B. ，
C.， D. ，
3、已知函数f（x）＝，满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（ C ）
A．（0，1）B．C．D．
【答案】C
【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减．
【解答】解：由对任意x1≠x2，都有成立可得，f（x）在R上单调递减，
所以，解得，即a的取值范围是（0，]．
故选：C．
4、“函数y＝x2﹣2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数”是“a≤0”的（B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义以及二次函数的性质判断即可．
【解答】解：函数的对称轴是x＝a，开口向上，
若函数y＝x2﹣2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数，
则a≤1，
故“函数y＝x2﹣2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数”是“a≤0”的必要不充分条件．
故选：B．
5、已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（x）]2﹣2af（x）有四个不同的零点，
实数a的取值范围是（ A ）
A．{}∪（，+∞）B．{}∪（，+∞）
C．（，] D．（，+∞）
【解答】解：由g（x）＝0，得：f（x）＝0或f（x）＝2a，
因函数f（x）＝，
由f（x）＝0，解得x＝3，
因此函数g（x）＝[f（x）]2﹣2af（x）有四个不同的零点，当且仅当方程f（x）＝2a有三个不同的根，
当x≤1时，f（x）＝21﹣x+，
函数f（x）在（﹣∞，1]上递减，函数值集合为[，+∞），
当1＜x≤2时，f（x）＝2x﹣1+，
所以函数f（x）在（1，2]上递增，函数值集合为（，]，
函数f（x）在（2，3]上递减，函数值集合为[0，+∞），在[3，+∞）上递增，函数值集合为[0，+∞），
在同一坐标系内作出直线y＝2a与函数y＝f（x）的图象，
如图所示：
方程f（x）＝2a有3个不同的根，当且仅当直线y＝2a与函数g（x）的图象有3个公共点，
观察图象知，当2a＝或2a＞，
即a＝或a＞时，直线y＝2a与函数g（x）的图象有3个公共点，
所以实数a的取值范围是{}∪（，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
6、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x2，则不等式f（2x﹣1）＜3的解集为（ A ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（﹣1，2)
【答案】A
【分析】由题意可得，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，利用函数单调性把不等式f（2x﹣1）＜3转化为2x﹣1＜1求解．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝2x+x2，该函数为增函数，且f（x）＞f（0）＝1．
而f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0．
当x＜0时，f（x）为增函数，可知f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．
而f（1）＝21+12＝3，
由f（2x﹣1）＜3，可得2x﹣1＜1，即x＜1．
∴不等式f（2x﹣1）＜3的解集为（﹣∞，1）．
故选：A．
7、已知，则的大小关系是（ A ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】，，即，
，
下面比较与的大小，构造函数与，
由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，

当时，；当时，
由，故，故，即，
所以，
故选：A
8、已知点在函数f（x）＝cs（2ωx+φ）（ω＞0且ω∈N*，0＜φ＜π）的图象上，直线是函数f（x）的图象的一条对称轴．若f（x）在区间内单调，则φ＝（ B ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出φ即可．
【解答】解：由题意得，，得，得ω≥2，
又因为f（x）在区间内单调，
所以，得，得ω≤3．所以2≤ω≤3．
又因为ω∈N*，所以ω＝2或3．
当ω＝2时，，得，
又0＜φ＜π，所以，
此时直线是函数f（x）的图象的一条对称轴，且f（x）在区间内单调．
所以．
当ω＝3时，，得，
又0＜φ＜π，所以，
此时，
所以直线不是函数f（x）的图象的一条对称轴．
所以ω＝2，，
故选：B．
二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得得2分，有错选的得0分.）
9、已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ACD ）
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.
【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，即，所以，
所以，又，所以，所以，故A正确；
由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确；
故选：ACD
10、对任意两个实数a，b，定义min（a，b）＝，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x2﹣2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（ ABD ）
A．函数F（x）是偶函数
B．方程F（x）＝0有两个实数根
C．函数F（x）在上单调递增，在上单调递减
D．函数F（x）有最大值为0，无最小值
【答案】ABD
【分析】根据题目定义，作出函数F（x）的图象，即可判断各项的真假．
【解答】解：因为min（a，b）＝，所以F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象如图所示：
由图可知，函数F（x）是偶函数，F（x）＝0有两个实数根x＝或x＝﹣，函数F（x）有最大值为0，无最小值．
故选：ABD．
11、已知﹣＜θ＜，且sinθ+csθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（CD ）

12、已知函数y＝f（x）的定义域为R且具有下列性质：
①y＝f（x）是奇函数；
②f（x+2）+f（4﹣x）＝f（3）；
③当x∈（0，3），f（x）＝﹣，函数g（x）＝．
下列结论正确的是（ BC ）
A．3是函数y＝f（x）的周期
B．函数y＝f（x）在上单调递增
C．函数y＝g（x）与函数y＝f（x）的图像的交点有8个
D．函数y＝f（x）与函数y＝lgax（a＞0,a≠1）的图像在区间（0，15）的交点有5个,则实数a＞
【答案】BC
【分析】结合①②条件可得函数周期为6，故A错误；作出函数f（x）、g（x）图像即可判断B、C；考虑a＞1和0＜a＜1两种情况，数形结合即可判断D．
【解答】解：对A：因为f（x+2）+f（4﹣x）＝f（3），所以令x＝1，可得f（3）+f（3）＝f（3），即f（3）＝0，故f（x+2）+f（4﹣x）＝0，
则f（x+3）+f（3﹣x）＝0，即f（3﹣x）＝﹣f（x+3），
因为f（x）为奇函数，所以f（3﹣x）＝﹣f（x﹣3），则f（x+3）＝f（x﹣3），
所以f（x+6）＝f（x），即函数f（x）的周期为6，故A错误；
对B、C：令x∈（﹣3，0），则﹣x∈（0，3），则f（﹣x）＝，又因为函数f（x）为奇函数，故f（x）＝﹣f（x）＝，
再根据其周期为6，分别作出函数f（x）与g（x）的图像如下：
数形结合，可得函数f（x）在上单调递增，且两函数图像共有8个交点，故B、C正确；
对D：作出函数f（x）在（0，15）的图像如下：
若函数y＝f（x）与函数y＝lgax（a＞0，a≠1）的图像在区间（0，15）的交点有5个，
由图可得实数a＞或0＜a＜，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、求值__9______
14、若，则______
15、已知f（x）是在定义域（0，+∞）上的单调函数，且对任意x∈（0，+∞）都满足：f（f（x）2lg2x）＝4，则满足不等式f（x）2＜lg2（3x）的x的取值范围是 （0，3） ．
【答案】（0，3）．
【分析】由换元法求出f（x）的解析式，再解原不等式．
【解答】解：由题意得f（x）﹣2lg2x为正常数，令f（x）﹣2lg2x＝t，t＞0，则f（x）＝2lg2x+t，
且f（t）＝2lg2t+t＝4，解得t＝2，
原不等式为2lg2x＜lg2（3x），可得，解得0＜x＜3，
故答案为：（0，3）．
16、下列命题正确是__①③.________．（写出所有正确的命题的序号）
①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称；
②如，则；
③函数是奇函数；
④存在唯一的实数使为奇函数
【答案】①③.
【解析】
【详解】逐一考查所给的命题：
函数为奇函数，则，
函数的周期为，则，
据此有：，
则对函数上任意一点，可知点也在函数图像上，
即函数的图象关于对称，说法①正确；
若，则，据此可知，
指数函数是上的单调递减函数，
则，说法②错误；
函数有意义，则：，解得：，
函数的定义域关于坐标原点对称，
且，
即函数是奇函数，说法③正确；
函数为奇函数，需满足：恒成立，
即：恒成立，
则：，
经检验时，函数为奇函数，说法④错误.
综上可得：所给的命题中，正确的是①③.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（10分）已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）＝
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈R，恒成立，求n的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2﹣x﹣2x；
（2）[﹣1，3]．
【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；
（2）由题知f（x）min＝2，进而得n2﹣2n﹣2≤1，再解不等式即可得答案．
【解答】解：（1）因为f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且有f（x）+g（x）＝21﹣x①，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝21+x②，
由①②，解得f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2﹣x﹣2x．
所以f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2﹣x﹣2x．
（2）因为，当且仅当x＝0时等号成立，
所以f（x）min＝2．
所以对任意的x∈R，恒成立，即，
则n2﹣2n﹣2≤1，即n2﹣2n﹣3≤0，解得﹣1≤n≤3，
所以n的取值范围[﹣1，3]．
18、（12分）已知集合A＝{y|y＝﹣2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
【解答】解：（1）当a＝4时，B＝{x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}＝{x|x2+3x﹣28＞0}＝{x|x＞4或x＜﹣7}．
A＝{y|y＝﹣2x，x∈[2，3]}＝{y|﹣8≤y≤﹣4}，
则A∩B＝{x|﹣8≤x＜﹣7}．
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊆B，
B＝{x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}＝{x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．
对应方程的两个根为x＝a或x＝﹣a﹣3，
①若a＝﹣a﹣3，即a＝﹣，此时B＝{x|x≠﹣}，满足A⊆B，
②若a＜﹣a﹣3，即a＜﹣，此时B＝{x|x＞﹣a﹣3或x＜a}}，
若满足A⊆B，则a≥﹣4或﹣a﹣3≤﹣8，解得a≥﹣4或a≥5（舍去），
此时﹣4≤a＜﹣．
③若a＞﹣a﹣3，即a＞﹣，此时B＝{x|x＞a或x＜﹣a﹣3}}，
若满足A⊆B，则﹣a﹣3≥﹣4或a≤﹣8（舍），解得﹣＜a≤1．
综上﹣4≤a≤1．
19、（12分）设函数f（x）＝x2﹣2tx+2，其中t∈R．
（1）若t＝1，求函数f（x）在区间[0，4]上的值域；
（2）若t＝1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围；
【答案】（1）[1，10]；
（2）[﹣1，1]；
（3）[4﹣2，2]．
【分析】（1）若t＝1，则f（x）＝（x﹣1）2+1，根据二次函数在[0，4]上的单调性可求函数的值域；
（2）由题意可得函数在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5，分别讨论对称轴x＝t与区间[a，a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a的范围
（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2tx+2＝（x﹣t）2+2﹣t2，
所以f（x）在区间（﹣∞，t]上单调减，在区间[t，+∞）上单调增，
且对任意的x∈R，都有f（t+x）＝f（t﹣x），
（1）若t＝1，则f（x）＝（x﹣1）2+1．
①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）＝2，最小值f（1）＝1，
所以f（x）的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）＝10，最小值f（1）＝1，
所以f（x）的取值范围为[1，10]；
所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．
（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5”．
①若t＝1，则f（x）＝（x﹣1）2+1，
所以f（x）在区间（﹣∞，1]上单调减，在区间[1，+∞）上单调增．
②当1≤a+1，即a≥0时，
由[f（x）]max＝f（a+2）＝（a+1）2+1≤5，得﹣3≤a≤1，
从而 0≤a≤1．
③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]max＝f（a）＝（a﹣1）2+1≤5，得﹣1≤a≤3，
从而﹣1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[﹣1，1]．
20、（12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与施肥量x（单位：kg）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其他成本投入（如培育管理，施肥等人工费）20x元，已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f（x）．（单位：元）
（1）写出单株利润f（x）关于施肥量x的关系式；
（2）当施肥量为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意可得f（x）＝15W（x）﹣20x﹣10x＝15W（x）﹣30x，
∵，
∴f（x）＝；
（2）由（1）可得，
当0≤x≤2时，f（x）max＝f（2）＝465，
当2＜x≤5时，，当且仅当，即x＝4时等号成立，
∵465＜480，
∴当x＝4时，f（x）max＝480，
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的利润最大，是480元。
【点评】本题主要考查分段函数的最值求解，解题的关键在于求解分段函数的解析式，为中等题。
21、（12分）已知函数f（x）＝2csxsin（x+）2cs2x+，x∈R．
（1）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为h（x），若关于x的方程
2[h（x）]2+m h（x）+1＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2csxsin（x+）﹣2cs2x+
＝2csx（sinx+csx）﹣2cs2x+
＝sinxsx﹣cs2x+＝sin2x﹣•+＝sin（2x﹣），x∈R，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
再结合x∈[0，π]，可得函数f（x）的增区间为[0，]，[，π]．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为h（x）＝sin2x，
若关于x的方程2[h（x）]2+mh（x）+1＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根．
在区间[0，]上，2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]．
故方程2sin22x+msin2x+1＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根．
令t＝sin2x，则2t2+mt+1＝0 在区间[0，1）上有1个根．
令g（t）＝2t2+mt+1，∵g（0）＝1，∴g（1）＝m+3＜0 ①，或 ②，
解①求得m＜﹣3，解②求得 m＝﹣2，
即实数m的范围为（﹣∞，﹣3）∪{﹣2}．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，属于中档题．
22.（12分） 设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.
（1）若，求函数的准不动点；
（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围
.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，当时，可得，可解得函数的准不动点；
（2）先根据对数的性质可得在内恒成立，即在内恒成立，可得；再由在区间上存在准不动点可得与在内有交点，分析求解即可．
【小问1详解】
若时，则，
因为在内均单调递增，则在内单调递增，
且，则的解集为，
即的定义域为，
令，
即，解得，
故当，函数的准不动点为．
【小问2详解】
因为在内恒成立，则在内恒成立，
因为在内均单调递增，可知在内单调递增，
且，则，解得；
令，则，
整理得，可知与在内有交点，
且，结合的单调性可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为．