(广东专用)新高考数学二轮模拟试卷分项汇编专题14 椭圆、双曲线、抛物线（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·广东·统考一模）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
由，代入不等式中，
化简，得恒成立，
则有，
解得，而，所以
故选：A
2．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故选：A
3．（2023·广东湛江·统考一模）已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（ ）
A．1B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】由题可知，直线l的斜率存在.
设直线的方程为，．
由得，故．
又，，所以．
圆的圆心为，半径，
所以，．
又，，
所以，，
所以.
故选：B．
4．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】双曲线（，）的渐近线的方程为，
双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，
根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，
则，则，
，
则该双曲线的离心率为，
故选：D.
5．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据渐近线与直线垂直可得渐近线方程为，
当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，
因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去，
当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，满足虚轴比实轴长，
所以，解得或（舍去），
所以.
故选：C．
二、多选题
6．（2023·广东·统考一模）已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若为△的中线，则
B．若为的角平分线，则
C．存在直线，使得
D．对于任意直线，都有
【答案】AD
【解析】由题意，设，不妨令都在第一象限，，
联立，则，且，即，
所以，则，如上图所示.
A：若为△的中线，则，
所以，所以，故，
所以，则，故A正确；
B：若为的角平分线，则，
作垂直准线于，则且，
所以，即，则，
将代入整理，得，则，
所以，故B错误；
C：若，即，即△为等腰直角三角形，
此时，即，所以，
所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误；
D：，而，
结合，可得，即恒成立，故D正确.
故选：AD.
7．（2023·广东湛江·统考一模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，则双曲线C的离心率
【答案】AB
【解析】由，得，所以，
则在点处的切线斜率为，
所以在点处的切线方程为，
又有，化简即可得切线方程为，
所以，所以，故C错误；
由，得，又，所以，故A正确；
由，得，
故，
由，得
所以，
所以，
所以，
设点A到x轴的距离为h，
则，
，
，
又，所以，故B正确；
由上可得，
因为，则，得，
，
所以，
解得，故D错误，
故选:AB．
8．（2023·广东广州·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】BC
【解析】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
9．（2023·广东江门·统考一模）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示两条平行线，则
B．若曲线表示双曲线，则
C．若，则曲线表示椭圆
D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆
【答案】BD
【解析】对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.
若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，
若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，
故A错；
对于B选项，若曲线表示双曲线，则，
由于且，则，可得，则，B对；
对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；
对于D选项，若，则，则，
曲线的方程可化为，
此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
10．（2023·广东茂名·统考一模）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、
B．抛物线C在点处的切线方程为
C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2
【答案】ABD
【解析】A选项：由抛物线C的定义知，
解得代入可得，
所以P的坐标为、，故A正确；
B选项：由得，，
切线方抛物线C在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，故B正确；
C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为，则根据对称性可得
且点在抛物线上，所以，解得，
所以这个正三角形的边长为，故C错误；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，
如图，
由抛物线的定义知，
当t取最大值时，取最小值，
即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为，
由得，
所以，解得，
此时，即，
所以，故，
所以，故D正确.
故选:ABD.
11．（2023·广东深圳·统考一模）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
【答案】BC
【解析】抛物线，准线方程是，
直线代入，可得，，
设，则，
，
，
设，则，
点到准线的距离，
，
当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，故A错误；
当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确；
当时，即，得，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
当时，即，得，
所以，令，
则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增，
故当时，取最小值，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
12．（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】设左顶点，上顶点，则直线AB的方程为，
以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离，
即，即，即，所以，
长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则，所以，
综上，，即，两边同除以得，又，解得．
故答案为：．
13．（2023·广东茂名·统考一模）已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是______.
【答案】
【解析】因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以，，则.
因为A是线段BD的中点，又轴，
所以，，
所以的内心G在线段EA上.
因为DG平分，所以在中所以，
设，所以，
因为G到y轴的距离不小于，∴，
∴.
∴，故.
故答案为：
14．（2023·广东深圳·统考一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率，
故答案为：.
15．（2023·广东梅州·统考一模）函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】，
，
可表示抛物线上的点，到两定点，的距离之和，即，
而点在此抛物线内，点是此抛物线的焦点，抛物线的准线为，设点、分别为点、在准线上的投影，
如图，根据抛物线的定义有，
则，
故答案为：.
16．（2023·广东佛山·统考一模）抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若，且，则______.
【答案】5
【解析】由题意可得：抛物线C：的焦点为，准线，
不妨设点，则，即，
可得，即，故，
则直线的斜率，
∵，则直线的斜率，
∴直线的方程，
令，解得，即，
故.
故答案为：5.
17．（2023·广东汕头·统考一模）过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为：，
即，设点，可得：，
联立方程组，解得：，
同理可得：，
所以，
因为，所以，
所以，由题意可得：，
所以，故离心率，又因为双曲线的离心率，
所以双曲线离心率的取值范围为，
故答案为：.
18．（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】在正方体中，连接，如图，对角面为矩形，
因为点分别是棱的中点，则，而，
即平面截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面
分别于，因此，连，平面、平面与平面分别交于，，
因此，而，即四边形为平行四边形，于是，
即点M为的中点，同理为中点，，因为动点始终满足平面，
于是平面，又在侧面上，所以点的轨迹是线段，轨迹长为；
以点D为原点建立空间直角坐标系，则，
则，令，
则有，，
于是点到直线的距离，
当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：；
四、解答题
19．（2023·广东·统考一模）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆标准方程；
(2)若为原点，且满足，求的面积.
【解析】（1）当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，
①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，
②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
因为，
所以，
①当直线斜率不存在时，
即，则，
因为点在椭圆上，所以，则有，
所以，点到的距离为，
此时.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得消去整理得，
满足，
由韦达定理得，
所以，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，
化简得，
所以
，
所以点到直线的距离，
所以
综上所述，的面积为.
20．（2023·广东湛江·统考一模）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为，可得，
又由椭圆的定义，可知，所以，所以，
又因为，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）设，直线的方程为，
由，整理得，
则有，，
故，
又由直线的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形的面积：
，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为．
21．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求C的方程；
(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
【解析】（1）由椭圆的离心率为得：，即有，
由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，
所以C的方程是.
（2）为定值，且，
因为，则，
因此，而，有，
于是平分，直线的斜率互为相反数，即，
设，
由得，，即有，
而，则，
即
于是
，
化简得：，
且又因为在椭圆上，即，即，，
从而，，
又因为不在直线上，则有，即，
所以为定值，且.
22．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【解析】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
23．（2023·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设，，，
联立直线l与双曲线E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且．
由韦达定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，点M的轨迹方程为，其中或．
（2）双曲线E的渐近线方程为．
设，，联立得，同理可得，
因为，
所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则．
即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
24．（2023·广东梅州·统考一模）已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；
所以，，
则.
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
因此轨迹方程为.
（2）（i）设，，.
由题可知，，如下图所示：
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值.
（ii）设直线的方程为，，.
由，得，
所以.
由（i）可知，，即，
化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，
因此直线经过定点.
25．（2023·广东茂名·统考一模）已知椭圆的左焦点F为，过椭圆左顶点和上项点的直线的斜率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若为平面上一点，C，D分别为椭圆的上、下顶点，直线NC，ND与椭圆的另一个交点分别为P，Q.试判断点F到直线PQ的距离是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）椭圆的左顶点，上顶点，依题意，，
又左焦点，即有，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，点，，而，
当时，，，直线PQ为y轴，
当时，直线CN的斜率，方程为，直线DN的斜率，方程为，
由消去x得：，设，
则，有，，即，
由消去x得：，设，
则，有，，即
直线PQ的斜率，方程为：，
即，显然直线PQ过定点，而时，y轴也过点，
因此对任意实数，直线PQ经过定点，
则当（M为垂足）时，F到直线PQ的距离取得最大值，
所以点F到直线PQ的距离存在最大值，最大值为.
26．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）依题意，，，所以，，
由，可得，即，解得或（舍去），
故，，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
联立，消去整理得，
所以，，
直线的方程为，令，得，
同理可得，
所以
，
故为定值.
27．（2023·广东肇庆·统考一模）设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.
(1)当点的坐标为时，求；
(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点.直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的取值范围.
【解析】（1）解法一：设，，，
由，可得，
所以，直线PA的斜率，
直线PA：，又在上，
，
所以，又，
所以，
同理可得，
，
；
解法二：设，，，
由，可得，
所以，直线PA的斜率，
直线PA：，又在上，
故，即，
因为，所以，同理可得，
故直线的方程为，
联立消去，得，
故，
故；
（2）设，由条件知，
，
，
∴，
，当时，，AC重合，不合题意，
或，
的取值范围为.