新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一8 椭圆、双曲线、抛物线小题（2份，原卷版+解析版）

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，
双曲线离心率
，
椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）
双曲线焦点三角形面积公式：
抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有
模拟训练
一、单选题
1．（22·23·九江·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于两点，直线交轴于点，若，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由且，得到为的中点，得出轴，进而得到为等边三角形，求得，即可求解.
【详解】如图所示，因为且，所以为的中点，
又因为为的中点，轴，所以轴，
所以为等边三角形，所以，可得，解得，
所以椭圆的焦距为.
故选：A.

2．（22·23·成都·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合题意，建立方程，代入点，可得答案.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为，
由题意可得：，整理可得，
将代入双曲线方程可得：，解得，，
所以双曲线.
故选：C.
3．（22·23·保定·二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率.
【详解】由题意，在双曲线C: 中，右焦点为，FN垂直于轴，

由题意可知：，
因为是BF中点，则，可得，
且三点共线，则∥，可得，即,
所以.
故选：A.
4．（22·23·吕梁·二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意，结合图形的对称性可得四边形为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定理求解即可.
【详解】如图，若在第一象限，因为，所以，
由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以，
又因为，所以，，
在中，，解得．

故选：B
5．（23·24上·永州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率.
【详解】由令，得，
由于与轴平行，且在第一象限，所以.
由于，
所以，
即，将点坐标代入椭圆的方程得，
，
，
所以离心率.
故选：B

6．（23·24·大理·一模）直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在椭圆上和直线上列方程，整理后求得椭圆的离心率.
【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为，
根据题意：轴，A在椭圆上，
由解得，则，A在直线上，则，
所以，，，所以，
解得.
故选：A
7．（22·23·酒泉·三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，
所以四边形为矩形，
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
又因为为直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因为为直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故选：D.
8．（22·23·南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.
【详解】依题意，设椭圆的左焦点为，
圆的圆心为，半径为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
而，
所以，
当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.
故选：D

9．（22·23下·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可.
【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，
由室内地面是面积为的圆，故，①对；
且，则，又不全相等，故，②错；
若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；
若，则，故，④对.
故选：B.
10．（23·24上·湖北·一模）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接、、，则，，设点，则，分析可得，可得出的取值范围，由可求得的取值范围.
【详解】连接、、，则，，
由切线长定理可知，，
又因为，，所以，，
所以，，则，
设点，则，且，
所以，，
所以，，故，
故选：B.
11．（22·23·宁德·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取线段的中点，连接，利用平面向量数量积的运算性质推导出，可知，利用双曲线的定义求出、的长，利用余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，

因为，则，
因为为的中点，则，且，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
12．（22·23·咸阳·二模）已知双曲线：（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，则由题意可得四边形为矩形，设，则，，分别在和中，运用勾股定理，结合离心率公式可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以四边形为矩形，
设（），则，，
在中，，
所以，化简得，解得，
在中，，
所以，所以，
所以，得，
所以离心率，
故选：B
13．（22·23·唐山·二模）已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及正弦定理得出结果.
【详解】如图，抛物线C的准线，直线n与x轴交于点，
过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得，
所以，又，所以，
故，即．

故选：C.
14．（23·24上·郴州·一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：

由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：C.
15．（22·23·宜宾·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案.
【详解】
设，内切圆半径为，
，即，
所以，
又，.
故选：B
16．（22·23·海口·一模）如图，抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F且斜率为的直线与C交于M（M在x轴上方），N两点，则（ ）

A．3B．4C．D．6
【答案】D
【分析】设直线MN的方程为，与抛物线联立可求出的坐标，由两点间的距离公式可求出，即可得出答案.
【详解】∵，，∴直线MN的方程为，
联立方程，解得，.
∵点M在x轴上方，可得，，
∴.
故选：D.
17．（22·23·厦门·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，，
所以，，
因为，则，
设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
18．（22·23·鹰潭·一模）已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理、斜率公式求出直线AB的方程以及点P的坐标，再利用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】解：不妨设直线AB的方程为，
联立，消去x并整理得，
不妨设，，，
由韦达定理得，，
因为A、B是抛物线C上两点，OB的斜率分别为，，且，
所以，
又，
所以，解得，此时，
则直线AB的方程为，
因为直线AB与x轴的交点为P，所以，
易知抛物线的焦点，
则
，
当时，的面积取得最小值.
故选：B.

二、多选题
19．（22·23·沧州·三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
【答案】ACD
【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.
【详解】由题意，
在中，
∵关于的平分线的对称点恰好在上，
∴，，三点共线，且，
∵，∴.
设，，
根据双曲线定义可得，，
解得，，即，∴.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
∴的实轴长为2，所以A正确；
又，，∴的离心率为，所以B不正确；
的面积为，∴C正确；
∵，∴，
∵，易得的平分线的倾斜角为，
∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.
故选：ACD.
20．（22·23·唐山·二模）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.
【详解】若直线与C的两支交于顶点A、B，则，
若直线与C的一支交于A，B两点，则通径最短，，
由题意得，解得，
则C的方程为，
把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．
故选：ACD．
21．（23·24·大理·一模）过抛物线C：上一点作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为12
C．直线过定点
D．当点A到直线的距离最大时，直线的方程为
【答案】AD
【分析】对于,根据点在抛物线上，求出抛物线方程，即可求出准线方程；根据过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短为，可判断；对于,设直线为，联立直线和抛物线方程消元后，再根据韦达定理即，即可求得直线所过定点；对于,当时，点A到直线MN的距离最大，即可求得的方程.
【详解】将代入抛物线C中得，则抛物线C为，
故抛物线C的准线方程为，故A正确；
当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B错误；
设直线为，，，
联立抛物线可得，，
∴，，
∵，
，
∵，，∴，
∴，
化简整理可得，
，
∴，得，
∴直线MN为，
∴直线MN过定点，故C错误，
当时，点A到直线MN的距离最大，
此时,则,
此时直线MN为，D正确.
故选：AD.
22．（22·23·海口·二模）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（ ）
A．B．
C．直线的斜率为D．
【答案】ACD
【分析】根据离心率为，得到为等边三角形，再由过且垂直于直线的，得到，为等腰三角形，再根据的周长，得到a，进而得到b，c，然后设DE所在直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式验证D选项.
【详解】解：如图所示：

∵椭圆的离心率为，
∴不妨设椭圆．
∵的上顶点为，两个焦点为，
∴为等边三角形，
∵过且垂直于的直线与交于两点，
∴．故C项正确．
由等腰三角形的性质可得．
由椭圆的定义可得的周长为，
∴．故A项正确，B项错误．
对于D项，设，联立，
消去y得：，
则，
由韦达定理得，
所以，故D项正确．
故选：ACD
23．（22·23·深圳·二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
【答案】BC
【分析】依据题意确定切点不在双曲线上，根据勾股定理可计算，故可判断出不正确，正确；画出图象，根据图象观察可求出渐进性的斜率，进一步计算离心率即可判断出
【详解】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；
当分别在二､三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，
正确，错误.

故选：
24．（22·23·吕梁·二模）已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．不存在点，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
【答案】ABC
【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得，，所以，
则，故A正确；
对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；
对于C，由已知，，所以，．
又，则．
根据椭圆的定义可得，
所以，
由图可知，，

所以
当且仅当，，三点共线时，取得等号．
故的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最小值为，故D错误．
故选：ABC
【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
25．（22·23·潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．对称轴方程是
C．实轴长为D．离心率为
【答案】ABD
【分析】由基本不等式可判断A，由双曲线的性质判断B，C，D.
【详解】时，，当且仅当即时取等号，
时，，
当且仅当即时取等号，故A正确；
依题意，此双曲线两条渐近线为和，，
由双曲线的对称性，双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称，
故得双曲线的两条对称轴方程为，故B正确；
由双曲线的性质，双曲线实轴的两个顶点为对称轴与双曲线的两个交点，则由得双曲线实轴的两个顶点分别为
，，
故此双曲线的实轴长即为，故C错误；
依题意，此双曲线两条渐近线和的夹角为，
则渐近线与对称轴的夹角为，由双曲线的性质有，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
26．（22·23·淄博·三模）已知抛物线的焦点为点F，准线与对称轴的交点为K，斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点M到准线的最小距离是3
B．当直线l过点时，
C．当时，直线FM的斜率最小值是
D．当直线l过点K，且AF平分∠BFK时，
【答案】ABD
【分析】根据抛物线定义判断A，由判别式求出的范围结合中点坐标公式判断B，利用均值不等式判断C，根据角平分线定理及抛物线定义判断D.
【详解】对A，如图，作，连接，其中为准线，

由抛物线定义知，，
所以，当且仅当在上时，等号成立，故A正确；
对B，直线l过点时，直线方程为，联立可得，
设，，则，解得，
所以，即，故B正确；
对C，设，联立可得，当时，
设，，则，即，
，所以，
可得，即，
所以，解得或（舍去），此时，满足题意，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对D，如图，作，

由题意知，，连接，其中为准线，
则，联立抛物线联立可得，当时，
设，，则，，
由抛物线定义知，，
因为AF平分∠BFK，所以，由可知，
所以，即，所以，
又，解得，，所以，即，故D正确.
故选：ABD
27．（22·23·汕头·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，再根据，代入进而即可求解；
对于B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；
对于C，运用角平分线定理即可求解；
对于D，由正弦定理可得，再又结合A可得，从而得到，再根据题意得到，进而即可求解．
【详解】对于A，设，，则，且，
所以，
则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，
又，
所以当最大时，，即，故A正确；
对于B，过点作，垂足为点G，
又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，
由，
又，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；
对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，
则由角平分线定理可得，即，故C错误；
对于D，设，，，
由正弦定理可得，即，
则，即，
因为，
又结合A有，所以，即，所以，
又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，
所以，即，所以，
故，故D正确．
故选：ABD．

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．
28．（22·23下·镇江·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线的斜率为
C．不可能是正三角形
D．当时，点到的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用联立求得点坐标，结合向量数量积的运算即可判断选项A；结合抛物线定义即可判断选项CD；设，，根据即可判断选项B.
【详解】对于A，代入，
解得，，
即，，
则，
所以，A正确；
对于C，如图，，
所以不可能是正三角形，C正确；

对于D，由题知，，
当共线时，取等号，
又点到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，D正确.
对于B，当直线的斜率大于时，
根据上图再作，
因为，所以设，，
因为都在上，
所以，，
，，
所以，
则；
当直线的斜率小于时，同理可得.
综上，直线的斜率为，B错.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：直线与抛物线的位置关系问题，从以下几个角度分析：
（1）抛物线定义的结合，来分析线段的相等关系；
（2）斜率与倾斜角正切值的联系；
（3）数形结合思想的应用.
29．（22·23·张家口·三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
【答案】BCD
【分析】由时，点时，得到直线方程，联立方程组，结合，可判定A错误；由原点到直线的距离为，可判定B正确；设，根据题意求得，进而得到，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设，根据得到，求得，结合离心率的定义，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为，
可得直线为，即，
由，整理得，此时，
所以直线与椭圆无交点，所以A错误；
对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式，可得，
所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，
不妨设，则直线，
由原点到直线的距离等于1，可得，解得，
同理可得，因为，即，
解得，又由，解得，
所以离心率，所以C正确；
对于D中，不妨设，则,，
所以，解得，
所以，
因为，可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.

【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
30．（22·23·龙岩·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则（ ）
A．为定值
B．
C．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．存在直线使
【答案】BC
【分析】对于A，根据，取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；对于B，设直线的方程为，利用韦达定理可得，联立直线与渐近线方程，可分别解得，，结合弦长公式可判断B；对于C，设，可得P到两渐近线距离可判断C；由题可得恒成立可判断D.
【详解】双曲线的渐近线为，
对于A：因为，
作直线，，且，分别交轴上方渐近线于，，交轴下方渐近线于，，
有对称性可知：，
此时，
又因为为定值，所以
即不是定值，故A错误；

对于B，由题意可知：直线不与y轴垂直，设直线的方程为，
联立得得，，所以，
联立，得，联立，得，
所以，则，
结合弦长公式可得，
即，故B正确；
对于C，设，则，渐近线为，
所以P到两渐近线距离为：
，故C正确；
对于D，设，则，可得，
由图可得，即恒成立，
故不存在直线使，故D错误.

故选：BC.
三、填空题
31．（23·24上·郴州·一模）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】求出椭圆的焦点坐标，进而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】的焦点坐标为，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故答案为：9
32．（22·23·南宁·二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为 ．
【答案】
【分析】在 ，由正弦定理结合条件有: ，再由 的范围可求出离心率取值范围.
【详解】由，，设，，在中，由正弦定理有：，
离心率，则：解得：，
由于，得，
显然成立，
由有，即，得，
所以椭圆离心率取值范围为．
故答案为：.

33．（22·23·龙岩·二模）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线过点，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】分别设出直线、直线和直线的方程，以及，两点坐标，利用角平分线到角两边距离相等，可得直线和直线的斜率积为，从而得到，联立直线与抛物线，结合韦达定理即可求解.
【详解】设直线的方程为，即，
设直线，的方程分别为，，即，，
设，，
的平分线过点，，
整理得：，，
，则，即，
由，得，
，．
又，，解得：或（舍去）.
故答案为：.
34．（22·23·海口·一模）直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面的切点F为一个焦点的椭圆.若椭圆的长轴为，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】利用轴截面求出椭圆中的即可得解.
【详解】依题意，平面截球O得球面大圆.
如图，是球O大圆的外切三角形，

其中，切圆O于点E，F，显然，
而，则，
又，则，
由圆的切线性质知.
在中，，则，于是得椭圆长轴长，
即.
又F为椭圆的一个焦点，令椭圆的半焦距为c，即，因此，
所以椭圆的离心率.
故答案为：
35．（22·23·鹰潭·一模），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 .
【答案】
【分析】根据，得到，且是的角平分线，再结合和角平分线定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.
【详解】解：因为，
所以，则是的角平分线，
所以，
又因为，
所以，设，
由椭圆定义得，
即，解得，
则，
则，
所以，则，
故答案为：
36．（23·24上·永州·一模）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】设，表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于的方程，即可求得p，即得答案.
【详解】由可知，
设，则，
则，故，即①；
又点在抛物线上，
故②，且，即③，
②联立得，得或，
由于，故，结合③，
解得，故抛物线方程为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.
37．（22·23下·南充·三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的序号是 .
①若过点，则的准线方程为
②若过点，则
③若，则点的坐标为
④若，则.
【答案】①②④
【分析】对于①项，求出点的坐标即可验证；对于②项，联立方程，由抛物线定义以及韦达定理表示出相应的弦长即可；对于④，联立方程，由韦达定理以及数量积的坐标形式即可求出的值从而验证；对于③项，由④中分析即可验证；由此即可得解.
【详解】如下图所示：

设，对于①项，若过点，则点的坐标为，所以，
故抛物线的准线方程为，故①正确；
对于②项，由①可得的方程为，
与的方程联立消去并整理得，则，，
根据抛物线的定义，可得，，，
所以，
所以，故②项正确；
如下图所示：

对于④，将的方程与的方程联立，得，所以，，
设，则，所以，即，
由得，
即，
所以，所以，故④正确
对于③项，由④中分析可知，，所以焦点，故③错误.
综上所述：正确的序号是①②④.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：对于①项的验证比较常规，而熟练联立方程运用韦达定理或者抛物线定义表示弦长，熟练运用数量积的坐标公式以及夯厚的计算功底是正确验证②④项的关键，至于③项的验证，直接由④中分析过程即可验证.
38．（23·24上·浙江·一模）已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【分析】作出图像，由余弦定理及双曲线的定义表示出和，再根据得出，即可表示出，由列出齐次式，求解即可．
【详解】做出图像，如图所示，则，
在中，由得，，
设，则，
所以，解得，即，
在中，由得，，
设，则，
所以，解得，即，
因为，
所以，
则，即，
所以，解得，
所以，
由可得，，则，
所以，整理得，解得，
故答案为：．
四、双空题
39．（22·23·秦皇岛·二模）已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为 ，椭圆的离心率为 .
【答案】 /
【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理、离心率等知识求得正确答案.
【详解】根据，以及椭圆定义，得，
设，则，
根据，由勾股定理，得；
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以，所以，
在中，由勾股定理，得.
，在中，由余弦定理，
得，所以，离心率.
故答案为：；

40．（22·23·德州·三模）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，设的面积与的面积分别为的最大值为 ；当取得最大值时，的值为 .
【答案】 1
【分析】联立直线和椭圆的方程，韦达定理，计算出弦长|AB|和，利用基本不等式即可求出最大值；先求出Q坐标，然后计算，，最后计算即可.
【详解】由直线与圆相切得：，所以.
设，将直线代入椭圆C的方程得：，，
因为，所以且.
所以，
则，
设点O到直线的距离为，
故的面积为：，
当即时，等号成立，故的最大值为1.
设，由直线与圆相切于点，可得，
则，可得，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：1；.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．