(广东专用)新高考数学二轮模拟试卷分项汇编专题13 直线与圆（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·广东·统考模拟预测）已知经过点，半径为1．若直线是的一条对称轴．则k的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆心的坐标为，
因为经过点，半径为1，
所以，故点在圆上，
又直线是的一条对称轴，
所以，故点在直线上
所以圆与直线有交点，
所以，
所以，所以，
所以k的最大值为，
故选：D.
2．（2023·广东·高三统考模拟预测）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”
故选：A
3．（2023·广东揭阳·统考模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若直线与直线平行，则且，
因为“”“且”，
但“”“且”，
因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023·广东江门·统考模拟预测）若直线与圆相交于P，Q两点，且（其中O为坐标原点），则b的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】，圆的半径为1，，
圆心到直线的距离，，解得.
故选：C
二、多选题
5．（2023·广东广州·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】BC
【解析】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
6．（2023·广东汕头·统考一模）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（ ）
A．与关于直线对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线或直线上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线：上任意一点关于直线对称的点为，则，解得，所以点在直线：上，所以与关于直线对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，当时，；当时，，故B错误；
对于C，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，所以圆心在直线或直线上，故C正确；
对于D，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆与两坐标轴都相切，得圆心到轴的距离为，到轴的距离为，所以且，即，解得或，当时，由题意可知，解得或，当时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确.
故选：ACD.
7．（2023·广东佛山·统考一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：（其中）分别与直线、交于C、D两点，则（ ）
A．时，l的倾斜角为
B．，点A、B到l的距离之和为定值
C．，使l与圆O无公共点
D．，恒有
【答案】BD
【解析】依题意，，
对于A：当时直线，即，
所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故A错误；
对于B：点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以点、到直线的距离之和为，
因为，所以，所以，
即对，点、到直线的距离之和为定值，故B正确；
对于C：坐标原点到直线的距离，
所以直线与单位圆相切，即直线与单位圆必有一个交点，故C错误；
对于D：对于直线，令，解得，
令，解得，
即，，
所以，，
所以，所以，
即，恒有，故D正确；
故选：BD
8．（2023·广东肇庆·统考一模）已知圆，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相离
C．圆被轴截得的弦长为
D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
【答案】AC
【解析】直线，由，得，即l恒过定点，故A正确；
点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误；
令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确；
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，
所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误．
故选：AC．
9．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点，则的面积为
C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】A:由，，则其中点为，所以，
则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，
又圆的一般式方程为②，
而，
①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；
B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确；
C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，
则满足椭圆定义，
故圆心的轨迹为椭圆．故C错误；
D：设，
，
则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，
所以的最小值为，
故．故D错误.
故选：AB.
10．（2023·广东江门·统考模拟预测）已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆与圆相交
B．若，则圆与圆外离
C．若直线与圆相交，则
D．若直线与圆相交于，两点，则
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径
若，，则圆心，半径，则，
所以，则圆与圆相交，故A正确，B错误；
若直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；
若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线的距离，所以相交弦长，故D错误.
故选：AC.
11．（2023·广东惠州·高三统考模拟预测）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B．圆M的圆心坐标为
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切D．若，直线l被圆M截得的弦长为2
【答案】AB
【解析】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
故选：AB
三、填空题
12．（2023·广东·统考一模）已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为___________.
【答案】5
【解析】如图:
记圆半径为R,,则,,
所以,
当最小时,最大,此时两圆内切.
由已知设动圆的圆心为,
又圆心可得
即,
解得,所以,即圆的半径为5.
故答案为:5.
13．（2023·广东茂名·统考一模）过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】过，，时，设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程是：，即；
同理可得：
过、、时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：.
故答案为：.（、、、写其中一个即可）
14．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________．
【答案】
【解析】圆的方程化为标准方程为：，
则圆心半径，由题意知最长弦为过点的直径，最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为1，
故，
所以四边形ABCD的面积为．
故答案为：
15．（2023·广东·统考一模）在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为___________.
【答案】或
【解析】设直线的倾斜角为，由已知得，设直线的倾斜角为，
则，因为在等边三角形中，，所以，
当，，
所以
当，，
所以
综上，或，
故答案为：或
16．（2023·广东韶关·高三统考模拟预测）已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.
圆的圆心为，半径为，，
当圆和线段AB相切时，
，即，
，得，
当圆过B点时，
，得.
故答案为：.
17．（2023·广东汕头·高三统考模拟预测）已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）
【答案】．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【解析】由函数得，
所以在定义域上单调递增，
又因为，
所以关于对称，
则，即，
因为，所以，即，
所有满足的点中，有且只有一个在圆上，
则直线与圆相切，假设圆心，
所以，所以圆可以是，
故答案为: ．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
18．（2023·广东·高三统考模拟预测）已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．
【答案】（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）
【解析】设点，由可得，
整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，
直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，
所以，直线的方程可为.
故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.
19．（2023·广东揭阳·高三统考模拟预测）在某数学活动课上，数学教师把一块三边长分别为6，8，10的三角板放在直角坐标系中，则外接圆的方程可以为_____________．（写出其中一个符合条件的即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】边长分别为6，8，10的为直角三角形，且外接圆的半径为，
若将斜边的中点与坐标原点重合时，则圆心为，
所以其外接圆方程可以为，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的正半轴时，则圆心为，
所以其外接圆方程可以为，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的负半轴时，则圆心为，
所以其外接圆方程可以为，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的正半轴时，则圆心为，
所以其外接圆方程可以为，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的负半轴时，则圆心为，
所以其外接圆方程可以为.
故答案为：.（答案不唯一）
20．（2023·广东·高三统考模拟预测）已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________.
【答案】3（或，只需填写一个答案即可）
【解析】由圆，得圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为
，
因为直线与圆相交
所以，解得，
所以整数的所有可能取值为.
故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.
四、双空题
21．（2023·广东深圳·统考一模）设，，，O为坐标原点，则以为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为____；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P（该点称为直角△OAB的Brcard点），则点P横坐标x的最大值为______．
【答案】
【解析】以为弦的圆的圆心记作，且圆心在线段的垂直平分线上，
与直线相切于，则，
由可得，所以直线为，
将代入直线可得圆心为，，
所以所求的圆的标准方程为①；
以为直径的圆的圆心，半径为1，
则的方程为②，
①②可得，即为与的公共弦所在直线的方程，
将代入可得，
因为交点在第一象限，所以，所以，
令，（当且仅当时取等号）则
所以交点的横坐标
由对勾函数可得在内单调递增，所以当时，取得最小值，为，
所以交点的横坐标的最大值为
故答案为：；