(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题10 导数及其应用难点突破2-利用导数解决零点、交点问题（2份，原卷版+解析版）

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题型一 判断、证明或讨论零点的个数
例1 已知函数f(x)＝xsin x－eq \f(3,2).
判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.
感悟提升 利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
训练1 已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
题型二 根据零点情况求参数范围
例2 已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上有两个零点，求实数m的取值范围.
感悟提升 1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
训练2 已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.
题型三 与函数零点相关的综合问题
例3 设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln eq \f(2,a).
感悟提升 1.在(1)问中，当a>0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而f′(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′(b)0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.
方法技巧2 极限思想在解决零点问题中的应用
解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与x轴的交点问题，故需判断函数图象的变化趋势，极限的思想方法是解决问题的有力工具.
例 (1)已知函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
(2)已知函数f(x)＝ex(x＋1)，若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围.
一、解答题
1．已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)求的最小值；
(2)设函数（为的导函数），如果函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
2．已知
(1)讨论的单调区间；
(2)，若曲线和在上有且仅有两个交点，求的取值范围.
3．已知函数有两个不同的零点，.
(1)当时，求证：；
(2)求实数a的取值范围；
(3)求证：.
4．已知函数，其导函数为.
(1)若函数在时取得极大值，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数有零点.
5．已知，函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，且在其定义域上恰有一个驻点，求；
(3)若在区间上没有零点，证明：在区间上也没有零点.
6．已知函数，和，
(1)若与有相同的最小值，求的值；
(2)设有两个零点，求的取值范围．
7．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
8．已知函数，其中，是自然对数的底数．
(1)若，证明：；
(2)若，，判断的零点个数．
参考数据：，．
9．已知函数．
(1)记，求的单调区间；
(2)若有3个零点，求整数a的值．
参考数据：，，，．
10．已知函数．
(1)若函数存在极大值为，求实数的值
(2)设函数有三个零点，求实数的取值范围．
11．已知函数和有相同的极小值.
(1)求；
(2)证明：若函数和共有四个不同的零点，记为，且，则.
12．已知函数(为实数).
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当有两个零点时，求的取值范围.
13．已知函数
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)当时，判断函数的零点个数；
(3)若恒成立，求的取值范围.
14．已知函数.
(1)若是函数的极值点，求函数的零点的个数；
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
15．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，试讨论函数的零点个数．
16．已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程．
(2)若在时有两个零点，求实数a的取值范围．
17．已知函数（为常数，）．
(1)求函数的零点个数；
(2)已知实数、、为函数的三个不同零点．
①如果，，求证；
②如果，且、、成等差数列，请求出、、的值．
18．已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)函数在区间上存在零点，求的值；
(3)记函数，设（）是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
19．已知函数（），（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由.
20．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：函数有唯一零点；
(3)判断方程实数根的个数．
21．已知函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若，求证：函数只有一个零点，且；
(3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值．
22．设，函数.
(1)若有最小值，求的值；
(2)已知，讨论函数在上的零点个数.
23．已知函数．
(1)当时，证明：时，；
(2)当时，证明：在上有3个零点．
24．已知函数.
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围.
25．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，有且只有一个零点；
(3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.
26．已知函数（e是自然对数的底数）.
(1)若（）是函数的两个零点，证明：；
(2)当时，若对于，曲线C：与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围.
27．已知函数（e为自然对数的底数）．
(1)令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)令，若函数有两不同零点．
①求实数m的取值范围；
②证明：．
28．已知函数，，其中是自然对数的底数.
(1)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，求证：当时，恰好有2个零点；
(3)若曲线在处的切线与曲线也相切.判断函数的单调性.