湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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一､单选题（每题 5 分共 40 分）
1. 已知数列 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.
【详解】由 ，可得 ，
同理可得 ，所以数列 是周期为 3 的数列，
则 .
故选：B.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的导函数计算判断 A，B，C，应用乘法求导运算判断 D.
【详解】因为 所以 A 选项错误；
因为 ，所以 B 选项错误；
因为 ，所以 C 选项错误；
因为 ，所以 D 选项正确.
故选：D.
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3. 已知数列 的首项 ，且满足 ，则此数列的通项公式 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得 .
【详解】 ， ，
即 ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
故选：C.
4. 记等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 24 B. 28 C. 48 D. 84
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列前 n 项和的性质即可得解.
【详解】由等比数列的性质，得 成等比数列，
所以 ，
又因为 ， ，
即 ，
解得 ．
故选：D.
5. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
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A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求 ，利用导数的几何意义可求 的值.
【详解】由题意得，函数 的定义域为 ，且 ，
∴ ，
∵曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
∴ ，即 ，故 .
故选：D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数 定义可得 ，求得 得解.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，又 ，则 ，
所以 .
故选：D.
7. 过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】设 ，利用导数表示出在 点处的切线方程和在 点处的切线方程，再代入点
，化简即可得到结果.
【详解】设 ，由 ，得 ，
曲线 在 点处的切线方程为 ，
把 代入切线方程，得 ，
化简得 ，
同理可得曲线 在 点处的切线方程为 ，
都满足直线 ，
直线 的方程为 .
故选：A
8. 若函数 在 内无极值，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出导数，再由导函数在 内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即
可求解.
【详解】由函数 在 内无极值，得 在 内无变号零点，
而函数 在 上单调递增，则 或 ，解得 或 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
故选：C
二､多选题（每题 6 分共 18 分）
9. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的有（ ）
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A. 若 ，则数列 是等差数列
B. 若数列 是等差数列且 ， ，则当 时， 取得最大值
C. 若数列 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
D. 若数列 是等差数列，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A，利用 与 间的关系，求出 ，即可求解；对于 B，根据条件得 ，
，即可求解；对于 C，取 ，当 为偶数时， ，即可
求解；对于 D，利用等差数列的前 项和公式及等差数列的性质，即可求解.
【详解】对于选项 A，因为 ①，当 时， ②，
由① ②得到 ，又 时， ，不满足 ，
所以 ，则 ，数列 不是等差数列，故选项 A 错误，
对于选项 B，因为 ，且 ，则公差 ，由 ，得到
，
所以 ，故当 时， 取得最大值，所以选项 B 正确，
对于选项 C，取 ， 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，
当 为偶数时， ，此时 ， ， 不成等比数列，所以选项 C
错误，
对于选项 D，因数列 是等差数列，则 ，所以
选项 D 正确，
故选：BD.
10. 函数 的导函数 的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
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A. 是函数 的极值点 B. 在区间 上单调递增
C. 是函数 的最小值点 D. 在 处切线的斜率小于零
【答案】AB
【解析】
【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.
【详解】根据导函数图象可知：当 时， ，在 时， 函数
在 上单调递减，在 上单调递增，故 B 正确；
则 是函数 的极小值点，故 A 正确；
在 上单调递增， 不是函数 的最小值点，故 C 不正确；
函数 在 处的导数大于 切线的斜率大于零，故 D 不正确．
故选：AB
11. 设函数 则下列说法正确的有（ ）
A. 函数 仅有 1 个零点
B. 是 的极小值点
C. 函数 的对称中心为
D. 过 可以作三条直线与 的图象相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数 单调性得出极值进而得出零点判断 A，B；应用对称性定
义计算判断 C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断 D.
【详解】对 AB， ， ，
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当 或 时， ，当 时， ，所以函数 在 ， 上单
调递增，在 上单调递减，
所以 ， ，又 ，
所以函数 仅有 1 个零点，且该零点在区间 上，故 A 正确，B 错误；
对 C，由 ，得
，
所以函数 的图象关于 对称，故 C 正确；
对 D，设切点为 ，则 ，故切线方程为
，
又过点 ，所以 ，整理得 ，
即 ，解得 或 或 ，所以过 可以作三条直线与
的图象相切，故 D 正确．
故选：ACD．
三､填空题（每题 5 分共 15 分）
12. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】利用 来求得正确答案.
【详解】根据题意，数列 满足 ，
当 时，有 ；
当 时，有 ，不符合 ，
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故
故答案为：
13. 已知函数 ， ，则 的最小值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可.
【详解】因为 ，令 ，可得 ，而 ， ，
所以 ， ，函数单调递减； ， ，函数单调递增，
所以 时函数最小为值 ，
所以函数在 的最小值分别为 .
故答案为： .
14. 已知定义在 的函数 满足 ，则不等式 的解集为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】令函数 ，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出 的单调性，再利用
单调性解不等式可得结论.
【详解】构造函数 ，则 ，
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又 ， ，可得 ，
因此 在 上单调递增，
原不等式可化为 ，即 ，
可得 ，因此 ，
解得 .
故答案为： .
四､解答题
15. 已知数列 满足： ， .
（1）若 ，求证： 为等差数列.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将 两边取倒数，即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）可得 ，从而得到 ，利用裂项相消法计算可得.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
即 ， ，又 ，
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所以 是以 为首项， 为公差的等差数列；
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，则 ，
所以 ，
所以
.
16. 求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由复合函数的求导法则求解即可；
（2）由复合函数的求导法则求解即可；
（3）由复合函数的求导法则求解即可；
【小问 1 详解】
函数 可以看作函数 和 的复合函数，
由复合函数的求导法则可得： .
所以 ；
【小问 2 详解】
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函数 可以看作函数 和 的复合函数，
由复合函数的求导法则可得： .
所以
【小问 3 详解】
函数 可以看作函数 和 的复合函数，
，
所以 .
17. 已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）试判断函数 单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）对 求导，得到 ，对 进行讨论，判断 的单调性．
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，所以， ， ，
故当 时，函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ， ，
当 时， ， 减区间为 ，无增区间；
当 时，令 ， ，
时， ， 单调递减，
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时， ， 单调递增，
综上所述，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 .
18. 设
(1)求 的极值点；
(2)求 的单调区间；
(3)求 在 的最大值与最小值；
(4)画 的草图.
【答案】(1)极小值点 ，极大值点 ；(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为 和
；(3)最大值为 63，最小值为 0；(4)草图见解析.
【解析】
【分析】对于(1)(2)(3)，首先对函数 求导函数，再令 ，并求解，从而可得到
与 随 的变化情况表，进而求解；
对于(4)，根据 与 随 的变化情况表以及 的极值作图即可.
【详解】由题意， ，令 ，解得， ， ，
当 变化 ， ， 变化状态如下表：
极小
极大值 值
(1)为 为 的极小值点， 为 的极大值点；
(2) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ；
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(3)由表可知， 的极小值为 ， 的极大值为 ，
又因为 ，
故 在 上的最大值为 63，最小值为 0；
(4) 的草图如下所示：
19. 已知 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，数列 满足
（1）分别求数列 、 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和 ，求 的最小值.
【答案】（1） ； ；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）根据 是各项均为正数的等比数列，利用“ ”求解，然后利用数列通项公式与前 n 项和的关系
求解 .
（2）利用错位相减法求 ，再利用作差法判断 的增减性求最值.
【详解】（1）∵ 是各项均为正数的等比数列
∴
∵ ，
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∴ ，∴
∴
∴ ∴
又∵
∴ ， 时
∴
两式相减得：
∴
∵ 不满足
∴当
（2）当 时，
当 时，
∴
∴
∵ 满足
∴
∵
第 14页/共 15页
∴数列 为递增数列
∴ 的最小值为 2
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列通项公式与前 n 项和的关系以及错位相减法求和，还考
查了运算求解的能力，属于中档题.
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