湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知数列满足，则， 下列求导运算正确的是， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（每题5分共40分）
1. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. D. 2024
【答案】B
【解析】由，可得，
同理可得，所以数列是周期为3的数列，
则.
故选：B.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为所以A选项错误；
因为，所以B选项错误；
因为，所以C选项错误；
因为，所以D选项正确.
故选：D.
3. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，
即，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故选：C.
4. 记等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 24B. 28C. 48D. 84
【答案】D
【解析】由等比数列的性质，得成等比数列，
所以，
又因为，，
即，
解得．
故选：D.
5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由题意得，函数的定义域为，且，
∴，
∵曲线在点处的切线与直线垂直，
∴，即，故.
故选：D.
6. 已知，则 （ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】D
【解析】由，可得，
即，又，则，
所以.
故选：D.
7. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，由，得，
曲线在点处的切线方程为，
把代入切线方程，得，
化简得，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
都满足直线，
直线的方程为.
故选：A
8. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数在内无极值，得在内无变号零点，
而函数在上单调递增，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
二､多选题（每题6分共18分）
9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则数列是等差数列
B. 若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值
C. 若数列是等比数列，则，，成等比数列
D. 若数列是等差数列，则
【答案】BD
【解析】对于选项A，因为①，当时，②，
由①②得到，又时，，不满足，
所以，则，数列不是等差数列，故选项A错误，
对于选项B，因为，且，则公差，由，得到，
所以，故当时，取得最大值，所以选项B正确，
对于选项C，取，为等比数列，且首项为，公比为，
当为偶数时，，此时，，不成等比数列，所以选项C错误，
对于选项D，因数列是等差数列，则，
所以选项D正确，
故选：BD.
10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 在区间上单调递增
C. 是函数的最小值点
D. 在处切线的斜率小于零
【答案】AB
【解析】根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选：AB
11. 设函数则下列说法正确的有（ ）
A. 函数仅有1个零点
B. 是的极小值点
C. 函数的对称中心为
D. 过可以作三条直线与的图象相切
【答案】ACD
【解析】对AB，，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，
所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误；
对C，由，得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对D，设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．
故选：ACD．
三､填空题（每题5分共15分）
12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______．
【答案】
【解析】根据题意，数列满足，
当时，有；
当时，有，不符合，
故
故答案为：
13. 已知函数，，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】因为，令，可得，而，，
所以，，函数单调递减；，，函数单调递增，
所以时函数最小为值，
所以函数在的最小值分别为.
故答案为：.
14. 已知定义在的函数满足,则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】构造函数，则，
又，，可得，
因此在上单调递增，
原不等式可化为，即，
可得，因此，
解得.
故答案为：.
四､解答题
15. 已知数列满足：，.
（1）若，求证：为等差数列.
（2）求数列的前项和.
解：（1）因为，所以，
即，，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，则，
所以，
所以
.
16. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：
.
所以；
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：.
所以
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
，
所以.
17. 已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）试判断函数单调性.
解：（1）当时，，则，所以，，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，，
当时，，减区间为，无增区间；
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
18. 设
(1)求的极值点；
(2)求的单调区间；
(3)求在的最大值与最小值；
(4)画的草图.
解：由题意，，令，解得，，，
当变化，，变化状态如下表：
(1)为为的极小值点，为的极大值点；
(2) 的单调递增区间为，单调递减区间为和；
(3)由表可知，的极小值为，的极大值为，
又因为，
故在上的最大值为63，最小值为0；
(4)的草图如下所示：

19. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，数列满足
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）设数列的前项和，求的最小值.
解：（1）∵是各项均为正数的等比数列
∴
∵，
∴，∴
∴
∴∴
又∵
∴，时
∴
两式相减得：
∴
∵不满足
∴当
（2）当时，
当时，
∴
∴
∵满足
∴
∵
∴数列为递增数列
∴的最小值为2.
极小值
极大值