湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏区第一中学、洪山高级中学2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：汉阳一中 命题教师：毛建国 审题教师：陆冬丽
考试时间：2025 年 3 月 13 日下午 15:00—17:00 试卷满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1. 已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
故选：B
2. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像，则函数 的递增
区间是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移得 ，进而根据整体法即可求解单调区间.
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【详解】根据题意可知 ，
令 ,解得 ， ，
故 的递增区间是 ， ，
故选：D
3. 若 且 P 是线段 的一个三等分点，则点 P 的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由 或 求解即可；
【详解】由题意得 或 ．
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，即 ；
当 时， ，所以 ，即 ．
故选：D
4. 定义： ，其中 为向量 与 的夹角.若 ， ， ，则 （
）
A. B. C. 6 D. －6
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积可求向量夹角的余弦值，从而可得夹角的正弦值，故可求 .
【详解】因为 ，故 ，
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而 ，故 ，故 ，
故选：A
5. 设 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解 ，再分析角度范围得到 即可
【详解】因为 ，所以 ，且
，所以 ，则
故选：A．
6. 在 中， ，则 一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】应用投影向量的定义得出三角形形状即可.
【详解】由 ，
可知 在 上的投影向量为 ，
即点 在边 上的投影为边 的中点，
所以 ， 为等腰三角形．
故选：B.
7. 已知 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】设向量 ， 的夹角为 ，求得 的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域
等知识求得正确答案.
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因 ，所以 ，又 ，所以 .
故选：C
8. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，边 上的中线、高线、角平分线长分别是 ，
， ，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A 中，由正弦定理可得中线 的表达式，判断出 A 的真假；B 中，由三角形等面积法求出角平分
线 的表达式，判断出 B 的真假；C 中，由三角形等面积法求出高 的表达式，判断出 C 的真假；D 中，
由 选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出 D 的真假．
【 详 解 】 A： 设 为 的 中 线 ， 由 可 得 ,可 得
，
即 ，所以 A 正确；
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B 中，设 ，设 为 的角平分线，所以 ，
由三角形等面积法可得 ，
可得 ，
所以 ，即 ，所以 B 正确；
设 为 边上的高，由等面积法可得 ，
所以 ，因为 ，由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以 C 正确；
D 中，由 C 可得 ，所以 D 不正确．
故选：D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
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【分析】利用两角和的余弦公式计算可得 A 错误，根据二倍角的正弦公式计算可得 B 正确，将式子分解结
合二倍角的余弦公式可计算 C 错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算 D 正确.
【详解】对于 A，易知 ，可得 A 错误；
对于 B，易知 ，即 B 正确；
对于 C，易知
，即可得 C 错误；
对于 D， ，可得 D 正确
故选：BD
10. 如图是函数 的部分图象，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的周期是
B. 点 是函数 图象的一个对称中心
C. 直线 是函数 图象的一条对称轴
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数图象求出 、 ，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
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【详解】由图可得 ，所以 ，则 ，解得 ，
即函数 的最小正周期是 ，故 A 正确；
又 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以点 是函数 图象的一个对称中心，故 B 正
确；
因为 ，
所以直线 不是函数 图象的一条对称轴，故 C 错误；
将函数 的图象向右平移 个单位得到 ，
显然 为非奇非偶函数，故 D 错误.
故选：AB
11. 如图，直线 与 的边 分别相交于点 ，设 ，则
（ ）
A. 的面积 B.
C. D.
【答案】AD
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【解析】
【分析】A 选项，由正弦定理和面积公式求出 A 正确；B 选项， ，由正弦
定理得到 B 错误；CD 选项，利用向量加法法则得到 ，进而由数量积 运算法则得到答案.
【详解】A 选项，由正弦定理得 ，即 ，
的面积 ，A 正确；
B 选项，因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，B 错误；
CD 选项，因为 ，所以 ，
即 ，
故 ，
即 ，
所以 ，C 错误，D 正确，
故选：AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在 层，小宁家位于小明家正上
方的 层，已知 .小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为 ，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为 ，
则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.
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【详解】分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
则根据正切函数的定义得 ， ，
则 ，解得 .
故答案为： .
13. 已知 ，如果 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可.
【详解】向量 与 的夹角为钝角，则 ，
解得 或 ；
又向量 与 不共线，所以 ，解得 且 ；
故所求 的取值范围是 .
故答案为：
14. 在边长为 4 正方形 中， ，以 F 为圆心，1 为半径作半圆与 交于 M，
N 两点，如图所示．点 P 为弧 上任意一点，向量 最大值为______．
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【答案】
【解析】
【分析】过 作 交 于点 ，可知当 与半圆相切时， 最大，再利用三角函数求解即
可.
【详解】过 作 交 于点 ，根据投影向量的概念可得 ，
设 ，所以 ，
当 与半圆相切时， 取得最大值，此时 最大，
过 作 交 于点 ，连接 ，
当 取得最大值时， 且 ，
因为 ，正方形边长为 4，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ，所以 ，
得 ，所以 的最大值为 .
所以 最大值为 .
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故答案为：24.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 化简下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的加法、减法法则计算即可；
（2）应用向量的线性运算计算即可；
（3）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式计算即可.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
；
【小问 3 详解】
.
16. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ．求 的周长．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简即可；
(2)根据面积公式结合余弦定理求解即可.
【小问 1 详解】
由 可得 ，
解得 或 （舍），故 .
又 为 内角，故 .
【小问 2 详解】
，则 ，解得 .
由余弦定理 可得 ，
解得 .
故 的周长为 .
17. 如图所示，在 中， 是边 边上中线， 为 中点，过点 点直线交边 ， 于
， 两点，设 ， ，（ ， 与点 ， 不重合）
（1）证明： 为定值；
（2）求 的最小值，并求此时的 ， 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
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【分析】（1）求出 ，从而由 三点共线，可得答案；
（2）结合（1）可得 ，化简后利用基本不等式可求得结果
.
小问 1 详解】
因为 是边 边上中线，，所以 .
又 是 的中点， ，
所以 .
因为 三点共线，所以 且
所以 ，即 为定值；
【小问 2 详解】
由（1）
所以
，
当且仅当 ,即 时，等号成立.
所以 时， 的最小值 .
18. 如图，正方形 的边长为 ，点 W，E，F，M 分别在边 ， ， ， 上，
， ， 与 交于点 ， ，记 ．
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（1）记四边形 的面积为 的函数 ，周长为 的函数 ，
（i）证明： ；
（ii）求 的最大值；
（2）求四边形 面积的最小值．
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（i）根据已知条件求出 ， ，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解；
（2）根据已知条件求出四边形 的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【小问 1 详解】
（i）由题知： ， ．
所以 ．
（ii）由（i）知： ，
当 时， 时取等号，
所以 ，
故当 时， 的最大值为 ．
【小问 2 详解】
因为 ．
令 ，所以 ，
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令 ，
对称轴为 ，开口向上，由二次函数的性质知，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
若 ，则 在 上单调递减，
所以 ，
综上，当 时，四边形 面积最小值为 ；
当 时，四边形 面积最小值为 .
19. （1）借助两角和与差公式证明： ；
（2）当 时，利用所给图形证明（1）中等式；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用 即可求证；
（2）在 中利用算两次思想求得 及 即可.
【详解】（1）由题意得， ，
，
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两式相加得， ．
（2）由题意得，线段 的中点 的坐标为 ．
如图，过 作 垂直于 轴，交 轴于 ，则 ， ．
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．
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