湖北省汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选：B
2. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移得，进而根据整体法即可求解单调区间.
【详解】根据题意可知，
令,解得，，
故的递增区间是，，
故选：D
3. 若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由或求解即可；
详解】由题意得或．
设，则，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即．
故选：D
4. 定义：，其中为向量与的夹角.若，，，则（ ）
A. B. C. 6D. －6
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积可求向量夹角的余弦值，从而可得夹角的正弦值，故可求.
【详解】因为，故，
而，故，故，
故选：A
5 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
6. 在中，，则一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】应用投影向量的定义得出三角形形状即可.
【详解】由，
可知在上的投影向量为，
即点在边上的投影为边的中点，
所以，为等腰三角形．
故选：B.
7. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.
【详解】设向量，的夹角为，则，
因为，
所以，
令，则，
因为，所以，又，所以.
故选：C
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假．
【详解】A：设为的中线，由可得,可得，
即，所以A正确；
B中，设，设为的角平分线，所以，
由三角形等面积法可得，
可得，
所以，即，所以B正确；
设为边上的高，由等面积法可得，
所以，因为，由余弦定理可得，
所以，
所以，
即，所以C正确；
D中，由C可得，所以D不正确．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确.
【详解】对于A，易知，可得A错误；
对于B，易知，即B正确；
对于C，易知
，即可得C错误；
对于D，，可得D正确.
故选：BD
10. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数图象求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由图可得，所以，则，解得，
即函数的最小正周期是，故A正确；
又，所以，所以，
因为，所以，
所以，
又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
因为，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位得到，
显然为非奇非偶函数，故D错误.
故选：AB
11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ）
A. 面积B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到，进而由数量积的运算法则得到答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，即，
的面积，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得，B错误；
CD选项，因，所以，
即，
故，
即，
所以，C错误，D正确，
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.
【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为，
则根据正切函数的定义得，，
则，解得.
故答案为：.
13. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可.
【详解】向量与的夹角为钝角，则，
解得或；
又向量与不共线，所以，解得且；
故所求的取值范围是.
故答案为：
14. 在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可.
【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得，
设，所以，
当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，
过作交于点，连接，
当取得最大值时，且，
因为，正方形边长为4，则，，
所以，
所以，
则，所以，
得，所以的最大值为.
所以最大值为.
故答案为：24.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的加法、减法法则计算即可；
（2）应用向量的线性运算计算即可；
（3）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
.
16. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为．求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简即可；
(2)根据面积公式结合余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由可得，
解得或（舍），故.
又为内角，故.
【小问2详解】
，则，解得.
由余弦定理可得，
解得.
故的周长为.
17. 如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值，并求此时的，的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案；
（2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果.
小问1详解】
因为是边边上中线，，所以.
又是的中点，，
所以.
因为三点共线，所以且
所以，即为定值；
【小问2详解】
由（1）
所以
，
当且仅当,即时，等号成立.
所以时，的最小值.
18. 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记．
（1）记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
（i）证明：；
（ii）求的最大值；
（2）求四边形面积的最小值．
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解；
（2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
（i）由题知：，．
所以．
（ii）由（i）知：，
当时，时取等号，
所以，
故当时，的最大值为．
【小问2详解】
因为．
令，所以，
令，
对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则在上单调递减，
所以，
综上，当时，四边形面积最小值为；
当时，四边形面积最小值为.
19. （1）借助两角和与差公式证明：；
（2）当时，利用所给图形证明（1）中等式；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用即可求证；
（2）在中利用算两次思想求得及即可.
【详解】（1）由题意得，，
，
两式相加得，．
（2）由题意得，线段的中点的坐标为．
如图，过作垂直于轴，交轴于，则，．
在中，，
在中，，
∴，
即．