湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏区第一中学、洪山高级中学2024-2025学年高二下学期2月联考数学试题 Word版含解析

这是一份湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏区第一中学、洪山高级中学2024-2025学年高二下学期2月联考数学试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了 定 义 等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025 年 2 月 25 日上午 8：00--10：00 试卷满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把抛物线化成标准方程再求出焦点坐标即可.
详解】由抛物线 可得 ，
可得焦点坐标为 .
故选：D.
2. 已知直线 与 平行，则 （ ）
A. 或 3 B. 0 或 3 C. 0 或 D. 或 0 或 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线平行的条件，列式计算并验证得解.
【详解】由直线 与 平行，得 ，
解得 或 或 ，当 时，两直线重合，不符合题意；
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或 符合题意，所以 或 .
故选：B
3. 记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 63 B. 64 C. 127 D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本量法可求首项和公式，再利用求和公式可求 .
【详解】由条件可知， 的公比 ，
由题意得， ，解得 ，所以 ．
故选：C.
4. 已知直线 与双曲线 相交于 、 两个不同点，点 是
的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法可求得 ，结合 可得出双曲线 的离心率的值.
【详解】设点 、 ，由题意可得 ，
因为点 是 的中点，则 ，
因为 ，这两个等式作差可得 ，
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所以， ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故选：D.
5. 如图，已知平行四边形 ， ， 且 ，沿对角线 将 折起，
当二面角 的余弦值为 时，则 A 与 C 之间距离为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可.
【详解】已知平行四边形 ， ， 且 ，
， ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 ，
，
，
，
，
则 ，即 与 之间距离为 ，
故选：C．
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6. 已知数列 的通项公式为 ，则当 取得最小值时， （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解.
【详解】由 ，则 ，
令 ，则 ，由 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
即当 时，数列 单调递减，当 时，数列 单调递增，
又 ， ，所以 ，即 为数列 的最小值，
故当 取得最小值时， .
故选：B
7. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ， 为底面
内的一个动点，若 ，则动点 在（ ）
A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知将 化为 ，在底面 内构建如下图示的直角坐标系，应用向
量数量积的坐标表示求动点轨迹.
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【详解】由 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，
所以 ，底面 是边长为 的正方形，
在平面 内构建如下图示的直角坐标系，则 ，
设 ，则 ，
所以 ，即动点 在圆上.
故选：B
8. 定 义 ： ， 两 点 间 的 “M 距 离 ”为 把 到 两 定 点 ，
的“ 距离”之和为常数 的点的轨迹叫“ 椭圆”，则“ 椭圆”的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求
得其面积.
【详解】设 ，则“ 椭圆”方程是 ，即 ，
将 换为 可得 ，即 ，所以“ 椭圆”关于 轴对
称；
将 换为 可得 ，即 ，所以“ 椭圆”关于 轴对称；
将 换为 ， 换为 可得 ，即 ，所以“ 椭圆
”关于原点对称；
研究“ 椭圆”在第一象限图象，
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当 时方程为 ，是一条线段，端点坐标分别为 ， ，
当 时方程为 ，表示一条线段，端点坐标分别为 ， ，
结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图：
四边形 是直角梯形，上底长为 ，下底长为 ，高为 ，
所以梯形 面积为 ，
所以“ 椭圆”面积为
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“ 椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情
形.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若方程 ， 所表示的曲线为 C，则下列命题正确的是（ ）
A. 曲线 C 可以表示圆 B. 若曲线 C 是椭圆，则
C. 曲线 C 不可能表示直线 D. 若 ，则 C 为双曲线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
当 时，化简方程可判断出 正确；曲线 是椭圆，则 ，解出 可判断 不正确；由
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， ， ，可判断出 正确；若 ，则 ，
可判断出 正确．
【详解】当 时，方程 ，化为 ，表示圆，所以 正确；
曲线 是椭圆，则 ，解得 ，所以 不正确；
由 ， ， ，所以曲线 不可能表示直线，所以 正确；
若 ，则 ， 为双曲线，所以 正确；
故选：ACD
10. 已知直三棱柱 中， ，点 为 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
D. 直三棱柱 的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，计算 的坐标和 的坐标即可判断 A，计算平面 的
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法向量 ，计算 即可判断 B，由 分别计算 即可判断 C，对于 D
先计算出外接球的半径 ，根据球的表面积公式即可判断 D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系 ，
则 .
对于 A： ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B： ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，即 ，又 平面 ，所以 平面 ，故 B 正确；
对于 C： ，则 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，故 C 错误；
对于 D：因为 ，直三棱柱 的外接球的半径为 ，
则有 ，
所以直三棱柱 的外接球的表面积为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
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11. （多选）已知数列 满足 ， ，设 ，记数列 的前
项和为 ，数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，只需要依次对 赋值计算即得；对于 B，先推理得到 ，由 得
，从而得数列 为公差为 1 的等差数列，由通项公式计算即得；对于 C，利用错位相减法
求和即得；对于 D，根据条件将 分成奇数项和偶数项分别求和，利用 C 项结论和等比数列的求和公式计
算即得.
【详解】对于 A，由 ，因 ，
可得 ， ，故 A 正确；
对于 B，当 时，
（*），
因 ，则 ，
故由（*）可得 ，则 ，
即数列 为公差为 1 的等差数列，
则有 ，可得 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，
可得 ，
上面两式相减可得
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，
可得 ，故 C 错误；
对于 D，由 ， ，可得： ，
则
，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线 与直线 有公共点，则 k 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过化简知曲线 是圆心为 ，半径为 的上半圆，再借助数形结合的方法，利用
直线与半圆相切时直线的斜率可得结果.
【详解】直线 过定点 ，由 得 ，故曲线
是圆心为 ，半径为 的上半圆，如图所示：
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当直线 与半圆 相切时，
设切线倾斜角为 ， ，则 ，∴切线的斜率 ，
所以曲线 与直线 有公共点，则 k 的取值范围是 .
故答案 ： .
13. 设 是数列 的前 项和， 且 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据 再化简得出 ，即可求出通项公式再计算即可求值.
【详解】因为 ，左右同时乘以 ，
则 ，又因为 ，
所以 是以 1 为首项以 1 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
14. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球 ， ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面 都相切，平
面 分别与球 ， 相切于点 ， .数学家 GerminalDandelin 利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的
交线为椭圆， ， 为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为 Dandelin 双球.若球 ， 的半径分别为 6
和 3，球心距离 ，则此椭圆的长轴长为___________.
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【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，过切点 E，F 作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答.
【详解】过切点 E，F 作出双球模型 轴截面，设球 分别与圆锥的同一条母线切于 A，B 两点，
有 ，过 作 于点 C，则四边形 是矩形，
于是 ， ，又 ，从而 ，
设直线 AB 与平面 的交点为 P，则有 ， ，
所以椭圆的长轴长 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 A 经过两点 ， ，且圆心 A 在直线 上.
（1）求圆 A 的标准方程；
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（2）求过点 且与圆 A 相切的直线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆 的标准方程.
（2）判断直线 符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正
确答案.
【小问 1 详解】
设圆心为 ，半径为 r，由 ，
得 ，得 ，
点 A 的坐标为 ，圆半径 ，
圆 A 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
画出圆 的图象如下图所示，
由图可知，直线 过点 ，且与圆 相切，
当过 点与圆 相切的直线斜率存在时，
设切线方程为 ，
到直线 的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 .
综上所述，切线方程为 或 .
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16. 记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求整数 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得 是以 为首项、 为公比的等比
数列，从而得出结论；
（2）利用分组求和法以及等比数列的前 n 项和求解即可.
【小问 1 详解】
已知 ， ，
，
是以 为首项、 为公比的等比数列，
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．
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
，
，
；
由 ，可得 ， 为整数，
的最小值为 2026．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形，平面 平面
，点 在棱 PB 上，且 平面 ACE.
（1）求证： 为 PB 的中点；
（2）求平面 ACE 与平面 ACD 夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 BD 交 AC 于点 ，连接 EF，由 平面 ，得到 ，再由 为 BD 的中
点证明；
（2）先证明 OF，OC，OP 两两垂直，再以 为坐标原点，OF，OC，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建
立空间直角坐标系，求得平面 ACE 的法向量为 ，易知 是平面 ACD 的一个法向量，由
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求解.
【小问 1 详解】
证明：连接 BD 交 AC 于点 ，连接 EF，
因为底面 ABCD 是矩形，所以 为 BD 的中点，
因为 平面 平面 PBD，
平面 平面 ，所以 ，
又因为 为 BD 的中点，所以 为 PB 的中点.
【小问 2 详解】
解：取 CD 的中点 ，连接 PO，FO，
因为底面 ABCD 为矩形，所以 ，
因为 为 CD 的中点，
所以 ，
，所以 ，
又因为平面 平面 ABCD，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ABCD，所以 ，
所以 OF，OC，OP 两两垂直.
以 为坐标原点，OF，OC，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意可得 ， ，
则 ，
由上可知 为平面 ACD 的一个法向量，
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设平面 ACE 的法向量为 ，
则 令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以平面 ACE 与平面 ACD 夹角的正弦值为 .
18. 已知椭圆 ： 上的点到焦点距离最短为 ，到焦点距离最长为
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，且椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ，
的面积分别为 ， ，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，进而解出 ，求得 ，进而求解即可；
（2）当直线 的斜率不存在，可得 ，当直线 的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定
理以及三角形面积公式表示出 ，进而结合基本不等式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意， ，
解得 ，则 ，
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所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
当直线 的斜率不存在时， ，则 ；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
由于 异号，所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ．
综上所述， 的最大值为 ．
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19. 已知抛物线 （ 为正整数）， 为直线 上任意一点，过点 作抛物线 的
两条切线，切点分别为 ，记点 的纵坐标分别为 （其中 ）．
（1）证明： 成等差数列；
（2）若 ，记等差数列 的公差为 ．
（i）用 和 表示 ；
（ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最
大公约数为 1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理
证明下面的问题：若 为正奇数， 为正整数，且 这三个数两两之间的最大公约数都为 1，证明：
一定可以表示为某两个正整数的平方之和．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，根据韦达定理以及中点坐标公式即可求得 之间的关系；
（2）（i）由第一问的结论结合两点间的距离公式可以得到关系式；（ii）由已知条件的信息，通过证明
来说明.
【小问 1 详解】
由题意有，点 ，设直线 的斜率分别为 ，
直线 的方程为 ，代入 ，有 ，
整理为 ，
有 ，有 ，
同理有 ，可得 是关于 的方程 的两个根，
有 ,
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又由 ，同理有 ，有 ，
故 成等差数列；
【小问 2 详解】
（i）若 ，有 ，可得 ，
有 ，
故有 ；
（ii）由（i）有 ，又由 为正整数， 为正整数， 为正奇数，且 这三个数两两之
间的最大公约数都为 1，可得 为奇数，
方程 可化为 ，可化为 ，可化为 ，
由 为奇数，可得 和 都为整数，
设 和 的最大公约数为 ，可得 是 和 的因数，
又由 的最大公约数为 1，可得 ，
因为 和 最大公约数为 为一个整数的平方，
可得 和 都是一个整数的平方，
不妨设 （其中 都为正整数， ），
可得 ，故 一定可以表示为某两个正整数的平方之和.
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