2025武汉蔡甸区汉阳一中、江夏区一中、洪山高级中学高二下学期2月联考数学试题含解析

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考试时间：2025 年 2 月 25 日上午 8：00--10：00 试卷满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线 与 平行，则 （ ）
A 或 3 B. 0 或 3 C. 0 或 D. 或 0 或 3
3. 记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 63 B. 64 C. 127 D. 128
4. 已知直线 与双曲线 相交于 、 两个不同点，点 是
的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知平行四边形 ， ， 且 ，沿对角线 将 折起，
当二面角 的余弦值为 时，则 A 与 C 之间距离为（ ）
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A. 2 B. C. D.
6. 已知数列 的通项公式为 ，则当 取得最小值时， （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ， 为底面
内的一个动点，若 ，则动点 在（ ）
A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上
8. 定 义 ： ， 两 点 间 的 “M 距 离 ”为 把 到 两 定 点 ，
的“ 距离”之和为常数 的点的轨迹叫“ 椭圆”，则“ 椭圆”的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若方程 ， 所表示的曲线为 C，则下列命题正确的是（ ）
A. 曲线 C 可以表示圆 B. 若曲线 C 椭圆，则
C. 曲线 C 不可能表示直线 D. 若 ，则 C 为双曲线
10. 已知直三棱柱 中， ，点 为 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
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A.
B. 平面
C. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
D. 直三棱柱 的外接球的表面积为
11. （多选）已知数列 满足 ， ，设 ，记数列 的前
项和为 ，数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线 与直线 有公共点，则 k 取值范围是__________.
13. 设 是数列 前 项和， 且 ，则 __________.
14. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球 ， ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面 都相切，平
面 分别与球 ， 相切于点 ， .数学家 GerminalDandelin 利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的
交线为椭圆， ， 为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为 Dandelin 双球.若球 ， 的半径分别为 6
和 3，球心距离 ，则此椭圆的长轴长为___________.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 A 经过两点 ， ，且圆心 A 在直线 上.
（1）求圆 A 的标准方程；
（2）求过点 且与圆 A 相切的直线方程.
16. 记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求整数 的最小值．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形，平面 平面
，点 在棱 PB 上，且 平面 ACE.
（1）求证： 为 PB 的中点；
（2）求平面 ACE 与平面 ACD 夹角的正弦值.
18. 已知椭圆 ： 上的点到焦点距离最短为 ，到焦点距离最长为
．
（1）求椭圆 的方程；
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（2）过点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，且椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ，
的面积分别为 ， ，求 的最大值．
19. 已知抛物线 （ 为正整数）， 为直线 上任意一点，过点 作抛物线 的
两条切线，切点分别为 ，记点 的纵坐标分别为 （其中 ）．
（1）证明： 成等差数列；
（2）若 ，记等差数列 的公差为 ．
（i）用 和 表示 ；
（ii）初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最
大公约数为 1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数．请用该定理
证明下面的问题：若 为正奇数， 为正整数，且 这三个数两两之间的最大公约数都为 1，证明：
一定可以表示为某两个正整数的平方之和．
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