浙江省杭州市西湖区仁和实验学校2024-2025学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份浙江省杭州市西湖区仁和实验学校2024-2025学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共17页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D. R
2. 函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若，则（ ）
A 0B. 1C. D.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 计算：（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）
A B. C. D. 2
二、选择题（本小题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最小正周期为π
C. 在区间上单调递增D. 为奇函数
10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，若方程，则（ ）
A. 当或时，方程有个解
B. 当时，方程有个解
C. 当或时，方程有个解
D. 当时，方程有个解
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知点是角α的终边上一点，则_____．
13. 已知函数为奇函数，则_____．
14. 如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为_____．

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 求值
（1）；
（2）．
16. 已知为锐角，．
（1）求证：；
（2）的值．
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）当时，求最小值和最大值.
18. 已知函数（a为常数）是奇函数．
（1）求a的值与函数的定义域．
（2）若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围．
19. 对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”.
（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；
；
（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由.
2024学年第一学期高一年级期末考试
数学试题卷
命卷人：高峰
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D. R
【答案】C
【解析】
【分析】求解一元二次不等式的解集，然后利用集合的交集运算求解即可.
【详解】或，
，
所以，
故选：C
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，可得不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】由函数有意义，等价于，
解得且，
故函数的定义域为.
故选：A.
3. 已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由θ是锐角,则θ是第一象限角，反之不成立，可得结论.
【详解】由θ是锐角，则θ是第一象限角；反之不成立，例如是第一象限的角，但是不是锐角.
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数与指数幂的运算性质求解即可.
【详解】因为，所以，
故，
故选：D
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.
【详解】因为，所以，
由平方关系可得，
所以.
故选：B
6. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正切公式的逆用结合诱导公式求解即可.
【详解】，
故选：D
7. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用的定义，进行分段讨论，找出与图象交点个数即可.
【详解】由题，，故时，，与没有交点，
当时，，与没有交点，
当时，，与有一个交点，
当时，，与有1个交点，
当时，，与没有交点，
故共有2个交点，
故选：C.
8. 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求.
【详解】因为函数为奇函数，所以，，
又函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，
由函数为奇函数且在区间上单调，所以函数在区间，所以函数的周期，所以，又，所以，
故选：C.
二、选择题（本小题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最小正周期为π
C. 在区间上单调递增D. 为奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的周期定义易判断AB项，利用正弦函数的单调性和绝对值函数的图象变换可判断C项，利用奇函数的定义可判断D项.
【详解】对于AB，因，
故的最小正周期不是，故A项错误；
假设存在，对于，都有，
不妨取，则，
而因，，即不存在比更小的正周期，
故的最小正周期是,故B项正确；
对于C，当时，单调递减，且为负值，
将在上的图象沿着轴翻折，即得在上的图象，
故在区间上单调递增，故C项正确；
对于D，因的定义域为，
且，故不是奇函数，即D项错误.
故选：BC.
10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、B、D选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.
【详解】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；
B．因为，取等号时，故正确；
C．因为，取等号时，故错误；
D．因为，所以，取等号时，故正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当时，，当且仅当时取等号.
11. 已知函数，若方程，则（ ）
A. 当或时，方程有个解
B. 当时，方程有个解
C. 当或时，方程有个解
D. 当时，方程有个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分段函数的性质及函数单调性与最值情况，数形结合，转化为函数图像与直线交点情况.
【详解】由已知，
当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
当时，，函数上单调递增，且此时，
做出函数图像如图所示，

方程解可转化为函数与函数的交点横坐标，
当时，函数与函数有一个交点，即方程有个解；
当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解；
当时，函数与函数有三个交点，即方程有个解；
当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解；
即A选项错误，BCD选项正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知点是角α的终边上一点，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得.
【详解】点即，
依题意，.
故答案为:.
13. 已知函数为奇函数，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的定义求解即可.
【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以，
所以，
即，
所以，所以.
故答案为：
14. 如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为_____．

【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值.
【详解】设点，由则，
所以矩形的面积
，
由，，，
，当且仅当时取到最大值.
故矩形面积的最大值为
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15 求值
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得；
（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
16. 已知为锐角，．
（1）求证：；
（2）的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可；
（2）由（1）求出值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，又，
所以，
所以，即
所以
【小问2详解】
，
所以，
因为为锐角，所以，所以，
所以，所以.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）当时，求的最小值和最大值.
【答案】（1），对称轴，；（2）最小值为0，最大值为.
【解析】
【分析】（1）将函数化简，再根据正弦型函数的图象和性质求最小正周期和对称轴即可.
（2）用换元法将求的最值转化成，再根据正弦型函数的图象和性质求最值即可.
【详解】解：，
（1）最小正周期为，由，得出对称轴，；
（2），令，则，，
即最小值为0，最大值为.
18. 已知函数（a为常数）是奇函数．
（1）求a的值与函数的定义域．
（2）若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围．
【答案】（1）；函数的定义域为；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域；
（2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围.
【小问1详解】
因是奇函数，故，
即得，则有，因不恒为0，故，
当时，，由，可得，
即函数的定义域为：，
又，故是奇函数；
当时，因，函数没有意义.
综上，且函数的定义域为.
【小问2详解】
由（1）得，
因，函数在上为减函数，故得，
又因在上为增函数，故有，即，
依题意对任意的恒成立，故，解得，
故实数m的取值范围为.
19. 对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”.
（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；
；.
（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由.
【答案】（1）无下界，理由见解析；有下界，为8；
（2）答案见解析，无“上界”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据称为函数在上的“下界”的定义，判断即可；
（2）类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义即可；通过讨论的范围，判断函数是否有“上界”即可.
【小问1详解】
因为，所以，无“下界”；
因为，，当且仅当时“”成立，
所以有“下界”，为8.
【小问2详解】
对于定义在区间上的函数，
若存在，对任意的，都有，
则称函数在区间上有“上界”，把称为函数在上的“上界”.
由题，，
当时，，
，易得在上单调递减，
当时，，无“上界”；
当时，，
，易得在上单调递增，
；
综上，函数无“上界”.