浙江省杭州市西湖区2024_2025学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份浙江省杭州市西湖区2024_2025学年高一数学上学期期末试题含解析，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质求出集合 ，即可求交集.
【详解】由 可得， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：C.
2. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A. -1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求点 到坐标原点的距离，结合三角函数定义求结论.
【详解】因为点 的坐标为 ，
所以点 到原点的距离 ，
所以 .
故选：D.
3. 命题： ， 的否定是（ ）
A. ， B. ，
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C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接判断即可.
【详解】命题“ ， ” 全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：D.
4. ， ， ，则下列正确的是 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的定义可得 ，根据指数函数单调性可得 ， ，即可得结果.
【详解】因为 ， ， ，即 ，
所以 .
故选：B.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和正弦和余弦公式及同角三角函数的基本关系式可化简三角函数式.
【详解】原式
．
故选：C.
6. 函数 的大致图象是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；
【详解】因为 ，即 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除 ；
当 时， ，即 ，因此 ，故排除 A.
故选：D.
7. “ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性求函数 在区间 上单调递增的等价条件，在结
合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】二次函数 图象的对称轴为 ，
若函数 在区间 上单调递增，
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根据复合函数的单调性可得 ，即 ，
若 ，则 ，但是 ， 不一定成立，
故“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A
8. 对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 与点 是函数
的一对“隐对称点”.若函数 的图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由隐对称点的定义可知函数 的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题
转化为方程 的零点问题，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由隐对称点的定义可知函数 的图象上存在关于原点对称的点，
设 的图象与函数 的图象关于原点对称，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，又 ，
所以函数 的图象存在“隐对称点”等价于 与 在 上有交点，即方程
有零点，则 ，
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又 ，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 .
故选： .
【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为 与 在 上有
交点的问题，从而求解.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9. 下列函数中，是奇函数且在区间 上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及在 上的单调性作答.
【详解】对于 A，函数 的定义域为 R，是增函数，A 不是；
对于 B，函数 的定义域为 R，是奇函数，并且在 上单调递减，B 是；
对于 C，函数 的定义域为 ，是奇函数，并且在 上单调递减，C 是；
对于 D，函数 的定义域为 R，是偶函数，D 不是.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 若不等式 的解集为 ，则
C. 当 时， 的最小值是 5
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D. 函数 （ ，且 ）过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A，由不等式的性质结合充分必要条件即可判断；对于 B，由不等式的解集以及韦达定理即可
验算；对于 C，由基本不等式结合其取等条件是否满足即可判断；对于 D，根据指数函数的性质，令 的指
数等于 0 即可判断．
【详解】对于 A，若 ，满足 ，但是 ；若 ，满足 ，但是
；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故 A 不正确；
对于 B，由题意可知， ，2 是 的两根，且 ，
则 ，解得 ， ，则 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，显然等号不成立，故 C 不正确；
对于 D，令 ，则 ，所以 ，所以函数过定点 ，故 D 正确．
故选：BD.
11. 已知函数 ， ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【 分 析 】 作 出 函 数 图 象 ， 结 合 图 象 可 得 的 范 围 ， 再 由 ， 即 可 求 得
的取值范围。
【详解】根据题干可画出函数图象，如下图：
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根据图象可知， ，根据 得不出 ，
所以选项 A 正确，B 错误；
由于 ，所以 ，即 ，
所以 ，又 在 单调递增，
因此 ，所以选项 C 正确；
由于 ，所以 ，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，所以选项 D 正确。
故答案为：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知实数 ， 满足 ，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】通过指对互化，结合对数换底公式完成计算.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
13. 函数 的定义域为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义求解即可.
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【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
14. 若正实数 满足： 则 最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三元均值不等式求最值.
【详解】因为
所以 ，（当且仅当 ，即 时取等号）
因此 即
即当 时， 取最小值， ，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1） .
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
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【分析】（1）根据对数恒等式及对数的运算性质计算即可；
（2）运用诱导公式进行化简，在进行齐次化即可求解.
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
因为 ，所以
又因为
所以
16. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为
（2）最小值为 ,最大值为
【解析】
【分析】（1）根据三角函数周期公式求周期，根据余弦函数单调区间列不等式，可得结果；
（2）先确定 取值范围，再根据余弦函数性质求最值.
【小问 1 详解】
所以函数 的最小正周期为 ，
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由 得
即函数 最小正周期和单调递增区间为 ；
【小问 2 详解】
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为
因此当 时， 取最小值，为 ，
当 时， 取最大值，为 .
17. 已知函数 （其中 a，b 为常量， 且 ， ）的图象经过点 ，
．
（1）求函数 的解析式．
（2）若不等式 在实数 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 两个点坐标代入函数解析式即可；
（2）变换得到 ，设 ，计算函数 的最大值即可.
【小问 1 详解】
因为函数 过 ， ，
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则 ， ，
解得 ， ，或 ， （舍），
故 ；
【小问 2 详解】
因为 ，即 ，
令 ， ，则 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
故实数 的取值范围 .
18. 两县城 和 相距 ，现计划在县城外以 为直径的半圆弧 （不含 ， 两点）上选择一点
建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城 的影响度与所选
地点到城 的距离的平方成反比，比例系数为 ；对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比，
比例系数为 .对城 和城 的总影响度为城 和城 的影响度之和，记 点到城市 的距离为 ，建在
处的垃圾处理厂对城 和城 的总影响度为 .统计调查表明：当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 和
城 的总影响度为 .
（1）将 表示成 的函数；
（2）判断弧 上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城 和城 的总影响度最小？若存在，求
出该点到城 的距离；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在；出该点到城 的距离为
【解析】
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【分析】（1）由已知可得 ，再由当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 和
城 的总影响度为 求出即可；
（2）由（1）得 ，令 ，换元后由基本不等式求解即可；
【小问 1 详解】
由 为直径，得 ，所以 ，
由已知可得 ，
又当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 和城 的总影响度为 ，
即当 时， ，
代入上式可得 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
存在，
，
令 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 即 时取等号，
所以 ，此时 .
19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合 上的函数
，以及函数 ，切比雪夫将函数 的最大值称为
的“偏差”．
（1）函数 ，求 的“偏差”；
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（2）函数 ，若 的“偏差”为 2，求 的值；
（3）函数 ，若 的“偏差”取最小值，求 的值，并求出“偏
差”的最小值．
【答案】（1）3 （2）
（3） 时，函数 与 的“偏差”取最小值 .
【解析】
【分析】（1）写出 的解析式，结合 ，求出值域 ，可得偏差为 3；
（2） ，利用 和 的函数性质，通过
分类讨论，由“偏差”值得到 的值；
（3）结合所给条件，可得函数 与 的“偏差”为 ，结合绝对值不等式，求
出 即可得.
【小问 1 详解】
（1） ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以函数 与 的“偏差”为 .
小问 2 详解】
令 ，
∵ ，∴ 是单调减函数，∴
由题意， ， ，且 .
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当 ，即 时， ，解得 或 ，不符合；
当 ，即 时， ， 或 ，
解得 或 （舍）
所以
【小问 3 详解】
，
因为 ，所以 ，
由 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
故当且仅当 时，有 .
故当 的值为 时，函数 与 的“偏差”取最小值 .
【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，
综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来
进行解决.